572 
Erster Teil. Differential-Rechnung. 
Ans (30) lassen sich im allgemeinen zwei voneinander 
unabhängige Gleichungen formieren; jede derselben stellt eine 
Fläche dar, und diese zwei Flächen in Verbindung mit der 
gegebenen Fläche bestimmen die Nabelpunkte der letzteren, so 
daß es deren in der Regel nur eine beschränkte Anzahl gibt. 
Wenn jedoch die Beziehungen (30) sich auf eine einzige 
Gleichung reduzieren, so hat die gegebene Fläche eine Nabel- 
punlctlinie, und sind sie identisch erfüllt, so sind alle Punkte 
der Fläche Nabelpunkte (die Kugel). 
214. Beispiele. 1) Es sind die Hauptnormalschnitte 
und Hauptkrümmungsradien für einen Punkt einer Rotations 
fläche zu bestimmen. 
Wie in 187, 4 gefunden worden, ist 
* = + V 2 ) 
die allgemeine Gleichung der Rotationsflächen, wenn man die 
Rotationsachse zur z- Achse eines rechtwinkligen Koordinaten- 
Systems wählt. Setzt man vorübergehend 
Yx 2 + iß = u, 
so ergibt sich durch sukzessive Differentiation: 
-rw£+rw£ 
t - f"(u) + /■'(«) — ; 
da aber bei einer Rotationsfläche alle Punkte eines Parallel 
kreises gleiche Krümmungsverhältnisse aufweisen, so wird man 
zweckmäßig den Punkt so wählen, daß 
y = 0, folglich u — x 
sei; er liegt dann in dem durch die zx-Ebene bestimmten 
Meridian, und nunmehr ist: 
P = f\x), 2 = 0 
r = f'(x), s = 0, ¿ =