Sechster Abschnitt. Anwendung der Differential-Rechnung usw. 577 
Von der sphärischen Abbildung, die Gauß als ein wich 
tiges Untersuchungsmittel in die Flächentheorie eingeführt hat, 
soll hier zur Gewinnung eines fundamentalen Begriffs Gebrauch 
gemacht werden. 
Bisher ist nur von der Krümmung von Linien auf Flächen, 
nicht aber von der Krümmung der Flächen seihst gesprochen 
worden. Nach allgemeiner Vorstellung wird die Krümmung 
eines Flächenstücks nicht von seiner Größe allein, sondern auch 
von der Stärke der Richtungsänderung der positiven Normale 
innerhalb desselben abhängig sein; je stärker diese Änderung, 
desto größer wird — sofern es sich nicht um eine abwickel 
bare Fläche handelt — das sphärische Abbild des Flächen 
stücks ausfallen; darum bezeichnet Gauß den Inhalt dieses 
sphärischen Abbilds als die ganze Krümmung des Flächenstücks. 
Läßt man das Flächenstück durch allseitige Kontraktion 
seines Randes einem ihm angehörenden Punkt M als Grenze 
sich nähern, so zieht sich auch sein sphärisches Abbild immer 
enger zusammen und nähert sich dem sphärischen Bild Ü07 von 
M als Grenze; der Quotient aus der zweiten Größe durch die 
erste konvergiert aber im allgemeinen gegen eine bestimmte 
Grenze und diese bezeichnet man als das Krümmungsmaß der 
Fläche, mit Betonung des Urhebers dieses Gedankengangs*) 
auch als das Gaußsche Krümmungsmaß. Es ist dies eine natur 
gemäße Übertragung des Begriffs der Krümmung einer ebenen 
und der Flexion einer Raumkurve auf Flächen. 
Die folgende Erwägung führt dazu, daß das Krümmungs 
maß als eine relative Größe aufzufassen ist. Läßt man einen 
Punkt den Rand des Flächenstücks in einem bestimmten Sinne 
durchlaufen, so wird auch das Bild des Punktes den Rand des 
sphärischen Abbilds des Flächenstücks durchlaufen und zwar 
entweder in demselben oder in entgegengesetztem Sinne. Man 
kann nun festsetzen, daß dem ersten Fall ein positives, dem 
zweiten ein negatives Krümmungsmaß entsprechen soll. Wie 
diese Zuordnung mit den bisherigen Ergebnissen zusammen 
hängt, wird die analytische Durchführung des Gedankengaugs 
*) Disquisitiones generales circa superficies curvas, 1828, art. 6 
(Werke Bd. 8). 
Czuber, Vorlesungen. I. 3. Aufl. 
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