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Erster Teil. Differential-Rechnung. 
zeigen, die hier nicht in voller Allgemeinheit, sondern unter 
vereinfachenden Annahmen geschehen soll. 
Das Flächenelement sei an den Punkt M(x/y/e) so an 
geschlossen, daß es sich in der #?/-Ebene in ein rechtwinkliges 
Dreieck mit den Eckenkoordinaten 
x \ y, x + dx | y\ x | y -f dy 
projiziert; der Inhalt dieser Projektion ist * dxdy. 
Als Projektion des zugehörigen sphärischen Abbildes kann 
dann — mit Außerachtlassung von Größen höherer Ordnung — 
das Dreieck mit den Eckenkoordinaten 
XI Y: 
v , dX 
X -j- — d x 
dx 
X + -^dy 
v . dY , 
1 -f -5— dy 
dy J 
angesehen werden; der Inhalt dieser Projektion ist 
X Y 1 
8XdY 
dx dx 
dXdY 
dy dy 
7 , 1 /dXdY dX dY\j , 
dxd 'J~ i \SxJ^~JyJ^] dxd y- 
Da das Flächenelement und sein Abbild als in den parallelen 
Tangentialebenen einerseits der Fläche in M, anderseits der 
Kugel in 937 liegend erachtet werden können, ist ihr Größen 
verhältnis gleich dem Verhältnis gleichnamiger Projektionen; 
mithin ergibt sich für das Krümmungsmaß K der folgende 
Ausdruck: 
dXdY dXdY 
dx dy dy dx 
K = 
Nun folgen aus 
X== — 
Y = 
w 
die Ableitungen: 
dx 
dx 
dX 
dy 
und daraus 
(1 -f- g 2 )r — pqs 
(1 -f- q 2 )s — pqt 
= ]/p 2 + g 2 + 1 
(1 -J- p*)s — pqr 
(1 -f- p*)t — pqs 
(31) 
K = 
rt — S- 
mit bezug auf die Gleichung (27) heißt dies aber, daß 
(32) K = srr