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Erster Teil. Differential-Rechnung. 
I. Flächen von konstanter Krümmung. Eine Fläche 
z = f{x,y) hat durchwegs die Krümmung k, wenn sie der 
Differentialgleichung 
genügt; umgekehrt führt jede Lösung dieser Differentialgleichung 
auf eine solche Fläche. Je nachdem die Konstante k positiv 
oder negativ ist, spricht man von Flächen konstanter positiver, 
bzw. negativer Krümmung; ist k = 0, so vereinfacht sich die 
Gleichung: zu 
° , o r\ 
rt — s 2 
= 0 
und kennzeichnet nunmehr die abwickelbaren Flächen (198). 
Von dem allgemeinen Problem ahsehend schränken wir 
die Frage auf Rotationsflächen ein. Soll durch Rotation einer 
Kurve y = f{x) um die ¿r-Achse eine Fläche konstanter Krüm 
mung entstehen, so muß das Produkt aus dem Krümmungs 
radius und der begrenzten Normale für alle Punkte denselben 
Wert — haben, wobei auf die Lagenbeziehung der beiden 
Strecken Rücksicht zu nehmen ist: sind y und y" ungleich 
bezeichnet, so haben beide Strecken in bezug auf den Kurven 
punkt gleiche Lage — das entspricht einem positiven k\ sind 
y und y" gleich bezeichnet, so liegen die Strecken auf entgegen 
gesetzten Seiten des Kurvenpunktes — das entspricht einem 
negativen k. Unter allen Umständen gilt für solche Kurven 
der Ansatz: 
Bei positivem k bilden die einfachste, an sich evidente 
deren Mittelpunkte in der ¿r-Ach.se liegen. Die Kugel ist die 
einfachste Rotationsfläche von konstanter positiver Krümmung. 
Um auch eine Rotationsfläche konstanter negativer Krüm 
mung kennen zu lernen, stellen wir an der Kettenlinie (134, 2)) 
X 
al — , 
y = Y \e a + e 
folgende Betrachtung an. Aus