Erster Abschnitt. Variable und Funktionen. 
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unktion; wäre 
fall (a, a) als 
f{a) = h setzt, 
ner Seite des- 
L) zur linken 
t, den Grenz 
ergänzt man 
sich /'(#) links 
tseitigen Ver- 
n Wert a hei 
für fix) der 
a, und zwar 
e Funktionen 
mr ist das oo 
ei cp(x) gleich 
Unendlichkeits- 
a, wenn bei 
ler bei beiden 
hier von ein- 
ien werden. 
f(x) = sin ~ 
stelle von der 
Funktion hört 
n, es existiert 
tion f{x) eine 
ut man einen 
m, auch einen 
ungen müssen 
lusgeschlossen 
werden; man denkt sich dies dadurch erzielt, daß aus dem 
Intervall (cc, ß) eine beliebig enge endliche Umgebung des 
Unstetigkeitspunktes ausgescbieden wird. 
Sind fix), g(x) zwei in dem Intervall («, ß) stetige Funk 
tionen, so sind auch die Funktionen /*(#) + </(#), f(x)—g(x) 
und fix) g{x) in demselben Intervall stetig, wie sich mit Hilfe 
der unter 17 2) angegebenen analytischen Definition der Stetig 
keit ohne Mühe und nicht bloß für zwei, sondern für jede 
endliche Anzahl von Funktionen erweisen läßt. Von der Funk- 
tion , , gilt dies jedoch nur dann, wenn im ganzen Intervall 
9\ x ) 
(a, ß) gix) =(= 0 ist; wird dagegen an einer oder an mehreren 
Stellen q(x) = 0, so ist an diesen die Funktion nicht 
J _ gix) 
definiert und muß ihr Verhalten in der Umgebung solcher 
Stellen näher untersucht werden. 
19. Beispiele. Zur Erläuterung der Betrachtungen über 
die Stetigkeit oder Unstetigkeit der Funktionen mögen noch 
die folgenden Beispiele dienen. 
1) Die Funktion y = sin# ist durchaus stetig; denn wäh 
rend (Fig. 5, wo der Kreis mit dem Halbmesser = Längen 
einheit beschrieben ist) der Punkt M den Kreis von M 0 aus 
stetig durchläuft, die Variable x also 
das Kontinuum (0, 2x) beschreibt, Flg ' 5 ‘ 
durchläuft der Punkt P oder der Wert 
von y die Kontinua (0, 1), (1, — 1), 
(— 1, 0). Wegen der Periodizität zeigt 
die Funktion dasselbe Verhalten auf 
dem ganzen Bereich der unbeschränk 
ten Variablen x. (Den analytischen 
Nachweis der gleichmäßigen Stetigkeit 
vgl. 17 2.) 
Dasselbe gilt von der Funktion y = cos#, welche die 
Kontinua (1, — 1), (— 1, 1) beschreibt, während x das Inter 
vall (0, 2 7t) stetig durchläuft. 
Die übrigen trigonometrischen Funktionen 
1 1 
// p 
/ j \ 
/v \ l 
1 0 
TI 
. sin# . cos# 
tg# = cotg# = ——- 
(■ns rr. ' “ Qin sv 
sec# = - 
cosec # = 
da sie sich aus den vorgenannten mittels der Division bilden