584 Erster Teil. Differential-Rechnung. 
Bei der Parabel mit dem Parameter p wird 
p r 
mit Bezugnahme auf 163 weiter 
demnach 
Q + r = 0; 
die vom Brennpunkt der Parabel beschriebene Kurve erzeugt 
also eine Minimalrotationsfläche; vorhin ist das Katenoid als 
einzige Fläche dieser Art bezeichnet worden, wofür an späterer 
Stelle (gelegentlich der Differentialgleichungen) die Begründung 
erfolgen wird. Mithin ist die beim Abwälzen der Parabel vom 
Brennpunkt beschriebene Kurve eine Kettenlinie; mit Hilfe der 
Integralrechnung kann hierfür auch ein direkter Beweis er 
bracht werden. 
Beispiel. Zu zeigen, daß die Funktion 
cos y 
z - 
COS X 
der Differentialgleichung 
(1 -f <f)r — 2pqs + (1 -f p 2 ) t = 0 
genügt, die zugehörige Fläche also eine Minimalfläche ist. 
7. Spezielle Kurven auf krummen Flächen. 
217. Schichtenlinien und Fall-Linien. Von der Vor 
stellung ausgehend, die xy-Ebene sei horizontal, nennt man die 
Schnitte einer Fläche parallel zu dieser Ebene Niveaulinien 
oder Schichtenlinien. 
Ihre Projektionen auf der xy-Ebene sind durch die Glei 
chung der Fläche selbst dargestellt, wenn man in dieser z als 
veränderlichen Parameter ansieht. 
Da für eine Schichtenlinie 
z = konst. 
ist, so folgt daraus durch Differentiation, daß für ihre Punkte 
oder 
(1) 
pdx + qdy = 0 
dy p 
dx q