Sechster Abschnitt. Anwendung der Differential Rechnung usw. 587 
längs einer ihr aufgeschriebenen Kurve ist im allgemeinen eine 
windschiefe Fläche, d. h. eine solche ; deren geradlinige Er 
zeugende weder durch einen festen (im Endlichen liegenden 
oder unendlich fernen) Punkt gehen, noch Tangenten an eine 
Kurve sind. 
Ist jedoch die aufgeschriebene Kurve K solcher Art, daß 
die zu ihr gehörige Normalenfläche eine abwickelbare Fläche 
ist, so heißt sie eine Krümmungslinie der gegebenen Fläche; 
der Grund für diese Bezeichnung wird sich alsbald ergehen. 
Es gibt zwei Flächen, für welche jede aufgeschriebene 
Kurve im Sinne dieser Definition eine Krümmungslinie ist: die 
Ebene und die Kugel, denn dort ist die ‘Normalenfläche ein 
Zylinder, hier ein Kegel. 
Es entsteht nun die Frage, ob auf einer beliebigen Fläche 
Krümmungslinien existieren und welches ihre analytischen Merk 
male und geometrischen Eigenschaften sind. 
Angenommen, K (Fig. 124) sei eine Krümmungslinie der 
durch ihren Umriß angedeuteten Fläche und K Q die Rückkehr 
kante der zugehörigen developpabeln Normalenfläche; dann ist 
die Normale der Fläche in jedem be 
liebigen Punkte M{x/y/z) von K Tan 
gente an K 0 in einem bestimmten Punkte 
M 0 (x 0 /yjz 0 ) und umgekehrt. Bezeichnet 
man also die Kosinus der positiven Nor 
malenrichtung in M mit X, Y, Z, und 
beachtet, daß ^ 0 , ^ proportional 
7 du 1 du 7 du r r 
sind den Richtungskosinus der Tangente an K 0 in M 0 , wobei 
u der Parameter ist, durch welchen alle auf M als Punkt von 
K bezüglichen Größen dargestellt sind, so muß 
Fig. 124. 
dx 0 
dy 0 
dz 0 
du 
du 
du 
~X = 
~Y~ 
= ~z 
sein; ist % der gemeinsame Wert dieser Verhältnisse, so hat man: 
(4) 
dx °=%X, (hj<> = * Y, 
du 
du ’ du 
Nun bestehen, wenn die Länge M 0 M mit R bezeichnet 
wird, zwischen den Koordinaten von Mund M 0 die Beziehungen: 
x 0 = x — RX, y 0 = y — RY, z 0 = z — RZ;