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Erster Teil. Differential-Rechnung.
hervor; diese Gleichung stimmt aber mit jener (27) überein,
die sich in 212 zur Berechnung der Hauptkrümmungsradien
ergeben hat.
Demnach gilt der Satz: Die Normale in einem Punkte M
der Fläche berührt die Rückkehrkanten der Normalenflächen, die
zu den durch M laufenden Krümmungslinien gehören, in den
Hauptkrümmungsmittelpunkten.
Dadurch sind die beiden Scharen von Krümmungslinien
voneinander unterschieden, daß nämlich die Linien der einen
Schar überall die Richtung der stärksten, die der anderen Schar
die Richtung der schwächsten Krümmung anzeigen; in dieser
Eigenschaft ist auch der Name dieser Linien begründet.
Wenn die Krümmungslinie K die Schar, zu welcher sie
gehört, stetig durchläuft, so vollführt die zugeordnete Rück
kehrkante K 0 auch eine stetige Bewegung und beschreibt eine
Fläche; eine zweite Fläche gleicher Entstehungsweise ergibt
sich aus der anderen Schar von Krümmungslinien. Diese zwei
Flächen sind aber ebenso als ein einheitliches Gebilde anzu
sehen, wie die beiden Scharen von Krümmungslinien, die ja
auch durch eine Gleichung analytisch bestimmt sind; man nennt
sie zusammen die Polar- oder Zentralfläche, auch die Krümmungs
mittelpunktsfläche der gegebenen Fläche; der eine Mantel ent
hält die Krümmungszentra der Hauptnormalschnitte größter
Krümmung, der andere Mantel die Zentra der Hauptnormal
schnitte kleinster Krümmung.
219. Krümmungslinien der Rotationsflächen und
der abwickelbaren Flächen. Bei zwei Gattungen von Flächen
lassen sich die Krümmungslinien ohne weiteres angeben.
Auf einer Rotationsfläche bilden die Meridiane das eine
System, die Parallelkreise das andere System. Denn die Nor
malenfläche längs eines Meridians ist eine Ebene, jene längs
eines Parallelkreises ein Kegel, beide sind also abwickelbar.
Auf einer abwickelbaren Fläche sind die geradlinigen Er
zeugenden das eine System von Krümmungslinien; denn, weil
die Fläche in allen Punkten einer Erzeugenden von einer und
derselben Ebene berührt wird, ist die Normalenfläche längs
der Erzeugenden eine Ebene, also abwickelbar. Das andere