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Erster Teil. Differential-Rechnung. 
lassen, sind überall dort nicht definiert, wo der jeweilige Nenner 
Null wird, und besitzen daselbst Unendlichkeitspunkte von der 
unter 18 4) beschriebenen Art. So ist tg x an den Stellen 
(2n + 1) y nicht definiert (n kann jede positive und negative 
ganze Zahl mit Einschluß der Null bedeuten), und es ist bei 
spielsweise 
lim tg x = -f- oo, lim tg x = — oo. 
7t Tt 
* = Y -0 *=Y + ° 
2) Die Funktion y = setzt sich aus zwei durchaus 
stetigen Funktionen durch Division zusammen, ist daher auch 
durchgehende stetig mit vorläufigem Ausschluß der Stelle 
x = 0, an welcher sie nicht definiert ist; da jedoch lim 
x = -0 x 
— lim = 1, so kann auch diese Stelle in den Stetigkeits- 
rp 7 o 
x=+0 * 
bereich einbezogen werden, wenn man dort der Funktion den 
Wert 1 beilegt. 
3) Die Funktion y = —-—- (a > 0) ist für alle Werte 
1 + a x 
definiert und stetig, ausgenommen den Wert x — 0; nun ist 
nach 15 5) 
für a < 1 lim y = 0, 
x = — 0 
lim y — 1, 
# = + o 
für a > 1 lim y = 1, 
x = — 0 
lim y = 0; 
# = + 0 
in beiden Fällen weist also die Funktion an der Stelle x = 0 
eine Unstetigkeit von der in 18 2) beschriebenen Art auf. 
i 
4) Zufolge 15 5) ist für die Funktion y = a x ~ a (a > 0) 
der Punkt x = a ein Unstetigkeitspunkt von der Art 18 3), 
i 
für die Funktion y = a^ x ~ a ^ derselbe Punkt ein ünstetigkeits- 
punkt von der Art 18 4). 
5) Die Funktion f(x) = ~ sin ~ ist für x = 0 nicht de 
finiert, hat aber an dieser Stelle auch keinen Grenzwert; denn 
da der sin ~ bei beständig gegen Null konvergierendem x nie