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Erster Teil. Differential-Rechnung. 
221. Geodätische Linien. Zn Beginn des vorigen 
Artikels ist von einer einfach unendlichen Schar von Ebenen 
gesprochen worden, welche durch eine einer gegebenen Fläche 
aufgeschriebene Kurve G bestimmt ist; es war die Schar der 
Tangentialebenen der Fläche in den Punkten von C. 
Eine andere einfach unendliche Schar bilden die Normal 
ebenen der Fläche, welche die Kurve C in den einzelnen 
Punkten berühren; auch sie werden durch eine abwickelbare 
Fläche eingehüllt, die im allgemeinen verschieden ist von der 
Tangentenfläche der C. 
Ist die Kurve so beschaffen, daß die Einhüllende der sie 
berührenden Normalebenen mit ihrer Tangentenfläche zusammen 
fällt, so heißt sie eine geodätische Linie der Fläche. 
Aus dieser Definition läßt sich eine andere ableiten, die 
der analytischen Darstellung unmittelbar zugänglich ist. Ist G 
eine geodätische Linie, so ist jede sie berührende Normalebene 
der Fläche zugleich Oskulationsebene in dem betreffenden 
Punkte, enthält somit die Hauptnormale, die also notwendig 
mit der Flächennormale koinzidiert. Man kann daher auch 
die folgenden Erklärungen für die geodätische Linie aufstellen, 
Unter einer geodätischen Linie ist eine solche Kurve auf der 
Fläche zu verstehen, deren Oskulationsebene durchweg senkrecht 
ist zur Tangentialebene der Fläche in dem betreffenden Funkte; 
oder, es ist eine solche Kurve, deren Hauptnormalenfläche auf 
der zugrundeliegenden Fläche normal steht. 
Jede dieser Erklärungen führt zu einer die geodätischen 
Linien charakterisierenden Beziehung. 
Bezeichnet man die Koordinaten des Punktes M mit x, 
y, z, die Richtungskosinus der Normale der Fläche daselbst mit 
X, Y, Z\ die Richtungskosinus der Hauptnormale mit cos h 
cos g, cos v — alle Größen als Fuuktionen eines Parameters 
z. B. des Bogens s von G dargestellt —, so ist der ersten 
Erklärung gemäß auszudrücken, daß die Oskulationsebene 
(178, (6)). 
1 
s- 
1 
%-* 
dx 
dy 
dz 
d 2 x 
d 2 y 
d 2 z