' « " ^ - rj 
Sechster Abschnitt. Anwendung der Differential-Rechnung usw. 597 
auf der Tangentialebene 
(|-«)Z+fo-y)r+(g-*)Z-0 
normal steht. Es bat also die Produktsumme der Koeffizienten 
von £ — x, rj — y, £ — z aus beiden Gleichungen den Wert 
Null, d. h. im ganzen Verlauf von G ist 
(18) 
X 
Y 
Z 
dx 
dy 
dz 
d 2 x 
dhj 
d 2 z 
0. 
Der zweiten Erklärung zufolge ist 
X Y Z 
COS l COS [i cosr’ 
und zwar ist der gemeinsame Wert der drei Quotienten + 1 
oder — 1, je nachdem die positive Richtung der Hauptnormale 
mit der positiven oder negativen Richtung der Flächennormale 
zusammenfällt. Führt man für die Richtungskosinus der 
Hauptnormale die Werte (181, (11)) ein, so entsteht die Be 
ziehung: 
(14) = Л 
\ / гПо 
und nun ist der Wert dieser Verhältnisse, mit derselben Unter 
scheidung, -f- q oder — q, wenn p den Flexionshalbmesser von 
G in M bezeichnet. 
Die Tangentialebene im Punkte M von G an die Fläche 
enthält die Tangente und die Binormale, ist also die rektifi 
zierende Ebene von G in Jf; projiziert man G orthogonal auf 
diese Ebene, so zeigt die Projektion im Punkte M einen Wende 
punkt (182), hat hier also die Krümmung Null; auch diese 
Eigenschaft ist charakteristisch für die geodätische Linie.*) 
*) Ist C irgend eine auf einer Fläche verzeichnete Kurve, M ein 
Punkt derselben, T die Tangentialebene der Fläche in diesem Punkte, 
F die orthogonale Projektion von G auf T, so nennt man die Krümmung 
von F in M die geodätische Krümmung von G in M auf der betreffenden 
Fläche. Hiernach kann eine geodätische Linie auch als eine solche der 
Fläche aufgeschriebene Kurve definiert werden, deren geodätische Krüm 
mung im ganzen Verlaufe Null ist. Diese Definition läßt die Linie am 
deutlichsten als das Analogon der Geraden auf einer krummen Fläche 
erkennen.