Sechster Abschnitt. Anwendung der Differential-Rechnung usw. 603 
In Fig. 125 sei L eine Loxodrome auf der zugrunde ge 
legten Rotationsfläche, MM' ein Element derselben, einge 
schlossen zwischen den Meridianen FM und FM', deren 
Ebenen mit der zx-Ebene die Winkel X und X -j- dl bilden 
mögen. Die rechtwinkligen Koordinaten x, y, z eines Punktes 
M von L drücken sich durch seinen 10 , 
Abstand CM = r von der Rota- z 
tionsachse und dem eben einge 
führten Winkel X wie folgt aus; 
x = r cos X, 
(16) y = rsin X, 
z = f{r)- 
die Funktion f ist durch die Ge 
stalt der Rotationsfläche bedingt. 
-x 
Legt man durch M den Parallel- // „j 
kreis, so besteht zwischen seinem ® 
Element MM" und dem der Loxo- 
MM" 
drome die Beziehung ^. ^.— = sino3, die sich, wenn man MM" 
durch rdX und MM' durch das aus (16) abgeleitete Bogen 
differential 
ds = Ydr 2 -j- r 2 dX 2 -f f{r) 2 dr 2 
ersetzt, in der Gestalt 
r 2 dX 2 = sin 2 co [dr 2 -f r 2 dX 2j r f (ff dr 2 ) 
schreiben läßt, woraus 
,2 dr 
r 
A = tg co 1 f (r) : 
(17) 
Durch diese Differentialgleichung ist für jede einzelne 
Rotationsfläche eine Beziehung zwischen r und X bestimmt, 
mit deren Hilfe die Gleichungen (16) auf bloß einen Parameter 
zurückgeführt werden können. 
Den Ausgangspunkt der Untersuchung haben die Loxo- 
dromen auf der Kugel wegen ihrer Bedeutung für die See 
schiffahrt als Linien konstanten Kurses gebildet. Wählt man 
den Radius der Kugel als Längeneinheit und die Breite cp von 
M als zweiten Parameter, so treten an die Stelle von (16) die 
Gleichungen 
(16*) x = cos cp cos X, y = cos cp sin X, z = sin cp