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Erster Teil. Differential-Rechnung.
(2) lim «* + *)-/•(*)
gemeint sein.
Hiernach ist unter dem JDifferentialquotienten einer Funktion
f{x) an einer Stelle x der Grenzwert zu verstehen, gegen welchen
der an dieser Stelle gebildete Hifferenzenquotient konvergiert, wenn
die Änderung h der Variablen durch positive wie durch negative
Werte der Grenze Nidl sich nähert.
Ist der Bereich der Variablen ein beschränkter, also ein
endliches Intervall (a, ß), so kann an den Enden des Inter
valls selbstverständlich nur von einseitigen Differentialquotien
ten die Rede sein, und zwar kann, wenn cc < ß, für x = cc
nur der Grenzübergang I., für x = ß der Grenzübergang II.
zur Anwendung kommen.
Es ist oben bemerkt worden, der Differentialquotient an
einer Stelle x sei ein Maß für die Stärke der Änderung der
Funktion daselbst; diese Ausdrucksweise wird erst dann völlig
verständlich, wenn eine Einheit für das Maß angenommen ist•
diese Einheit sei die Stärke der Änderung der Variablen selbst.
Ist nämlich f(x) — x, so ist der Differenzenquotient - ^ ~ x - = 1
und folglich auch der Differentialquotient von x an jeder Stelle
x gleich 1. An einer Stelle also, wo der Differentialquotient
von f(x) größer ist als die Einheit, ändert sich die Funktion
stärker als die Variable, an einer Stelle, wo er kleiner als 1
ist, ändert sie sich schwächer als die Variable; dabei kommt
zunächst nur der absolute Wert des Differentialquotienten in
Betracht.
21. Abgeleitete Funktion. Wenn für die Funktion
f(x) an jeder Stelle x des Bereiches (cc, ß) der Grenzwert (2)
vorhanden ist, mit andern Worten, wenn sie an jeder Stelle
einen Differentialquotienten besitzt, so ist hiermit eine neue
Funktion für denselben Bereich von x definiert; man nennt sie
die abgeleitete oder derivierte Funktion oder kurz die Ableitung
von f(x), aber auch — im übertragenen Sinne — den Hiffe-
rentialquotienten von f(x) und gebraucht dafür, je nachdem es
in dem betreffenden Falle vorteilhafter ist, eines der Zeichen*)
*) Die drei Bezeichnungen stammen der Reihe nach von Leihniz
