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Erster Teil. Differential-Rechnung. 
abnimmt, und dies findet nur im Falle der Stetigkeit in der 
{übrigens beliebig engen) Umgebung von x statt. Dagegen 
ist diese Stetigkeit kein zureichendes Merkmal dafür, daß an 
der Stelle x ein Differentialquotient existiert. Als Beispiel diene 
die Funktion f(x) = x sin die für alle Werte von x definiert 
ist mit Ausnahme von x = 0; sie verhält sich aber auch an 
dieser Stelle wie eine stetige Funktion, wenn man f(0) = 0 
festsetzt, weil lim f(x) = 0 ist [18, 1]. Der Grenzwert des 
+ o 
Differenzenquotienten an der Stelle x = 0 ist aber 
h sin *— 0 
lim t = lim sin -v-, 
ä = + 0 " h = ± o h 
also völlig unbestimmt [18, 5]; daher existiert an dieser Stelle 
kein Differentialquotient. 
Es ist gelungen, Funktionen analytisch zu definieren, 
welche trotz ihrer Stetigkeit an unzählig vielen, ja selbst an 
allen Stellen keinen Differentialquotienten zulassen. Indessen 
genüge hier die bloße Anführung dieser Tatsache.*) 
22, Phoronomische und geometrische Bedeutung 
des Differentialquotienten. Sobald man das Gebiet der 
Anwendungen der Analysis betritt, sind x und f(x) die Maß 
zahlen für irgend welche voneinander abhängige Größen und 
je nach der Bedeutung dieser letzteren erlangt auch der Diffe 
rentialquotient verschiedene sachliche Bedeutung. An dieser 
Stelle sollen jene zwei Fälle besprochen werden, von welchen 
die Differentialrechnung ihren Ausgang genommen und die für 
zwei große Gebiete von grundlegender Bedeutung sind: für 
die Phoronomie**) und die Geometrie. 
1) Es sei x die von einem bestimmten Augenblicke an 
verflossene Zeit, welche ein in gerader Linie sich bewegender 
Punkt gebraucht hat, um den Weg f{x) zurückzulegen; dann 
ist f(x -}- h) der in der Zeit x + h vollendete, somit 
*) Literaturangaben über derartige Funktionen findet man in E. Pas 
cals Repertorium der höheren Mathematik, deutsch von A. Schepp, 
I. T., S. 110—111, Leipzig 1900. 
**) Reine Bewegungslehre, die die Bewegungsvorgänge nur nach 
Raum und Zeit betrachtet.