Zweiter Abschnitt. Differentiation von Funktionen einer Variablen. 49 
f{x -f- h) — f(x) der in dem Zeitinteryall (x, x Ah) zurück 
gelegte Weg. Wäre die Bewegung eine gleichmäßige, d. h. 
eine solche, bei welcher in beliebig großen, jedoch gleichen 
Zeitabschnitten gleiche Wege zurückgelegt werden, so stellte 
der Quotient 
fix + h) — f{x) 
h 
die Geschwindigkeit, d. i. den in einer von den Zeiteinheiten, 
in welchen x und h ausgedrückt sind, beschriebenen Weg dar. 
Auf eine ungleichmäßige Bewegung läßt sich dieser Begriff 
der Geschwindigkeit nicht unmittelbar übertragen; der un 
geschriebene Quotient bedeutet nunmehr die während des Zeit- 
intervalls (x, x + h) auf die Zeiteinheit durchschnittlich ent 
fallende Weglänge; je kürzer das Zeitinteryall, um so geringer 
die Ungleichmäßigkeit der Bewegung während desselben, um 
so näher entspricht die Bedeutung jenes Quotienten der einer 
Geschwindigkeit; und nähert sich der Quotient bei stetig gegen 
Null abnehmendem h einem Grenzwert, so wird dieser Grenzwert 
li m K x + *) — 
-Tn ti 
als die im Augenblicke x herrschende Geschwindigkeit erklärt. 
Wenn also f{x) den bei geradliniger Bewegung in der Zeit 
x zurückgelegten Weg ausdrückt, so hat der Bifferentialquofient 
fix) die Bedeutung der im letzten Augenblicke dieser Zeit herr 
schenden Geschwindigkeit. 
Mit Hilfe des Bewegungsbegriffes kann dem Differential 
quotienten eine bemerkenswerte Deutung gegeben werden. Stellt 
man sich yor, die Variable x durchlaufe ihr Intervall (cc, ß) 
gleichmäßig, so durchläuft die Funktion ihren Bereich im all 
gemeinen ungleichmäßig; bis zu dem Zeitpunkte, in welchem 
die Variable den Wert x, die Funktion den zugeordneten Wert 
fix) angenommen, sei die Zeit t verflossen, und in dem weiteren 
Zeitintervall t mögen die Werte x + h und fix A h) zustande 
kommen; dann ist ^ = c die Geschwindigkeit, mit welcher x 
sein Intervall durchläuft und der Grenzwert von ^ 
* X 
für lim r = 0 die Geschwindigkeit, mit welcher sich f(x) im 
CZuber; Vorlesungen. I. 3. Aufl. 
4