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Erster Teil. Differential-Rechnung. 
nach diese von x und h zugleich abhängige Differenz mit s, 
so ist £ eine mit h zugleich unendlich klein werdende Größe und 
fix + h) — f{x) = hf'(x) + sh, 
oder in andern, früher eingeführten Zeichen geschrieben; 
(6) ^fi x ) = -f- £ • ¿¡X. 
Yon den beiden Teilen der rechten Seite wird der zweite un 
endlich klein von höherer Ordnung als der erste, sobald fix) 
einen bestimmten von Null verschiedenen Wert hat, da 
Jk,№- lim rk =0; 
das erste Glied ist also der Hauptteil der Änderung /ifix) und 
wurde von Leibniz unter dem Namen Differential der Funktion 
eingeführt und mit df(x) bezeichnet. Danach ist zunächst 
(7) dfix) = f'(x)Jx; 
wendet man diese Gleichung auf die Funktion fix) = x an, 
so folgt 
(8) dx = Jx, 
so daß für diese Funktion die Begriffe „Änderung“ und „Diffe 
rential“ einander decken, wie ja für sie auch Differenzen 
quotient und Differentialquotient übereinstimmen; nach dieser 
Bemerkung kann 
(9) * df{x) = f'(x)dx 
geschrieben werden. 
Formell ist also das Differential dfix) einer Funktion das 
Produkt aus ihrem Differentialquotienten und dem Differential 
der Variablen; begrifflich stellt es eine Größe dar, deren Unter 
schied gegen die Änderung zif ix) der Funktion durch gehörige 
Einschränkung von dx im Verhältnis zu letzterer Größe dem 
Betrage nach beliebig klein gemacht werden kann, indem zufolge 
(ß), (7) und (8) 
lim 
/fix) —dfix) 
dx= + 0 
dx 
0. 
Aus der Definitionsgleichung (9) folgt: 
rw = 
df{x) _ 
dx ’ 
dies hat zunächst den 
Sinn, daß f{x) der Grenzwert von 
Ax