Zweiter Abschnitt. Differentiation von Funktionen einer Variablen. 55 
bei gegen Null abnehmendem h ergibt sieb auf Grund der ge 
machten Voraussetzungen folgende Regel: 
(3) J) \f x 0) u 0*0] = /i'0*0 U 0*0 + A 0*0 /*'0*0- 
Kommt zu dem Produkt noch ein dritter Faktor f a {x) hinzu, 
welcher dieselben Bedingungen erfüllt wie die beiden ersten, 
so ist zunächst 
^[{/i 0*0 £0*0} /*3 0*01 = /’s 0*0 • -D{/i(«)/ 2 (^)} 
und wenn man im ersten Gliede rechts aus (3) substituiert, 
( 4 ) -^x {/i 0*0 /2 0*0 /3 (■*')} === №)/i(»)/s(») + £0*0 £'0*0 £0*0 
Die Formel läßt sich auf dem angedeuteten Wege auf jede 
beliebige Anzahl von Faktoren ausdehnen und enthält den Satz: 
Der Differentialquotient eines Produktes von n Funktionen wird 
gebildet, indem man jedesmal nur einen Faktor durch seinen 
Differentialquotienten ersetzt und alle so gebildeten n Produkte 
zu einer Summe vereinigt. 
Wenn in der Formel (3) die Funktion f 2 (x) konstant = c 
angenommen wird, so ist f 2 '(x) = 0 und die Formel verwandelt 
sich in 
(5) D{cf 1 (x)} = cf 1 '(x). 
Hiernach geht ein konstanter Faktor unverändert als Faktor in 
den Differentialquotienten über. 
Wird die Formel (4) auf n Funktionen /j (x), f 2 (x), ... f n {x) 
ausgedehnt und sodann durch das Produkt der Funktionen 
selbst dividiert, was nur dann gestattet ist, wenn dieses Produkt 
an der betreffenden Stelle x nicht verschwindet, so ergibt sich 
die Formel: 
/c\ D{ fi(x)f 2 {x) ... f n (x)) ffjx) ff(x) f„{x) < 
v J • • • /»(«) /1(®) /*(«) _r ’ ” ^ f n i x ) 1 
aus ihr folgt, wenn alle Faktoren f L {x), f 2 (x), . . . f n (x) ein 
und dieselbe Funktion f(x) bedeuten, die weitere Formel 
{/•(*)}* m> 
aus der nach Beseitigung der Kenner folgt: 
(7) D[f{x)] n = n{f{x)] n - x f'{x).