Zweiter Abschnitt. Differentiation von Funktionen einer Yariablen. 57 
Setzt man hier c = 1 und g{x) = x n , wobei unter n eine 
positive ganze Zahl verstanden werden soll, so ist, weil 
Dx n = nx n ~ x , 
v>r n ~ X 
(11) Dx~ n = — : ' 2ii = — nx~ n ~ x , 
wodurch die Gültigkeit der Formel (8) auch für negative ganze 
Exponenten erwiesen ist. 
27. Differentiation inverser Funktionen. Ist (Ä, B) 
das Gebiet einer in dem Intervall (a, ß) monotonen stetigen 
Funktion y = f{x) so gehört zu jedem Werte von y 
aus dem Intervall (A, B) ein und nur ein Wert von x, so daß 
zugleich x als Funktion von y bestimmt ist: x = cp(y), und 
zwar ist x ebenfalls monoton und stetig; denn x und y durch 
laufen ihre bezüglichen Intervalle (a, ß) und (A, B) gleichzeitig 
stetig. Man bezeichnet f(x) und cp(y) als inverse Funktionen 
oder cp(y) als die Umkehrung von f(x) (12); zwischen ihren 
Differentialquotienten besteht eine einfache Beziehung. 
Sind nämlich x, y und ebenso x-j-Ax, yPAy zusammen 
gehörige Werte, so ist ~~ der Differenzenquotient der Funk 
tion fix), ^ der Differenzenquotient von cp(y)] diese beiden 
Differenzenquotienten sind reziprok und bleiben es, wie klein 
auch Ax und Ay werden mögen; folglich sind auch ihre Grenz 
werte, falls solche vorhanden und bestimmte von Null ver 
schiedene Werte sind, also die Differentialquotienten von /’(«) 
in bezug auf x und von (p{y) in bezug auf y, reziprok, d. h. 
(12) DJ(x).D y cp(y) = l. 
Die Differentialquotienten zweier inversen Funktionen sind 
also für jedes Paar zusammengehöriger Werte der Variablen 
x, y reziprok. 
Konvergiert an einer Stelle x gegen die Grenze Null,. 
so hat den Grenzwert oo und umgekehrt; ist also an 
einer Stelle # :/''(#) = 0,. so hat cp{y) an der entsprechen 
den Stelle y einen unendlichen Differentialquotienten und um 
gekehrt.