Zweiter Abschnitt. Differentiation von Funktionen einer Variablen. 59 
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und trägt man nun in die Formel (7) f(x) = x m ein, so kommt 
(13) 
JDx n 
nx 
— x m 
m 
n 
m 
n 
X™ 
1 
5 
dadurch ist die Gültigkeit der Formel (8) für positive gebrochene 
Exponenten dargetan. Wird schließlich in der Formel (10) 
c = 1 und g(x) = x m gesetzt, so ergibt sich mit Benutzung 
von (13) 
(14) 
n 
Bx~™ = — 
n m 
— X 
m 
2 n 
n 
X 
m 
n 
m 
1 
und Formel (8) ist nun auch auf negative gebrochene Exponenten 
erweitert. Sie gilt also für jeden rationalen Exponenten. 
28. Differentiation zusammengesetzter Funktionen. 
Es sei u — cp (¿c) eine eindeutige stetige Funktion von x, y = f(u) 
eine eindeutige stetige Funktion von u, so ist mittelbar y auch 
eine eindeutige stetige Funktion von x : y = f[cp(x)\] man 
nennt in solchem Falle y eine zusammengesetzte Funktion von 
x oder auch eine Funktion von einer Funktion von x. 
Ein bestimmter Wert von x hat einen bestimmten Wert 
von u und dieser einen bestimmten Wert von y zur Folge, 
und besitzt cp(x) an der Stelle x und f(u) an der Stelle u 
einen Differentialquotienten, so hat auch f[cp (#)] an der Stelle 
x einen Differentialquotienten. Geht man nämlich von x zu 
x zix über, so erfahren auch u, y gewisse Änderungen 
Bu, By, und es ist 
^ der Differenzenquotient von u in bezug auf x, 
Fu n n ” y » ” n u ’ 
Jy 
¿j x v v » y }> r> % 5 
zwischen diesen drei Differenzenquotienten besteht aber die 
Beziehung 
Ay Ay Au 
Ax Au Ax