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Erster Teil. Differential-Rechnung. 
und bleibt bestehen, wie klein auch ¿ix werden möge; somit 
besteht auch zwischen den Grenzwerten die Beziehung 
( 15 ) D x y = D u y ■ D x u. 
Ist v = u = cp (y), y = f(u), y also durch zweifache 
Vermittlung eine Funktion von x, so ergibt sich durch ähn 
liche Schlüsse 
(16) V x y = jD u y • D v u • D x v. 
Um also eine Variable y, welche durch mehrfache eindeutige Ver 
mittlung von u, v, w, . . . z mit der Variablen x zusam menhängf 
nach dieser letzteren zu differentiieren, bilde man der Ueihe nach 
die Differentialquotienten von y nach u, von u nach v, von v 
nach w, ... schließlich von z nach x, die alle als vorhanden 
vorausgesetzt werden; dann ist der Differentialquotient von y 
nach x gleich dem Produkte aller dieser Differentialquotienten. 
Die Formel (7) erweist sich als ein besonderer Fall der 
Formel (15), wenn man u = f(x) und y — u n setzt. 
Nimmt man in (15) u = ax + b, y = u n , wo n nun jede 
rationale Zahl bedeuten kann, so ist (21) 
D x {ax + b) n = na (ax -f- b) n ~ 1 . 
§ 3. Differential quotienten der elementaren Funktionen. 
29. Die Potenz. Im Verlaufe des letzten Paragraphen 
wurde für die Differentiation der Potenz y = x n die bei jedem 
rationalen Exponenten n geltende Formel: 
(1) D x x n = nx n ~ x 
abgeleitet. Bei negativem n ist der Wert x = 0 als Unstetig 
keitspunkt auszuschließen. 
Diese Formel in Verbindung mit den Sätzen des vorigen 
Paragraphen setzt uns in den Stand, alle expliziten algebrai 
schen Funktionen zu differentiieren. 
1) Für die ganze Funktion 
y = a Q x n -\- a 1 x n ~ 1 -¡ b + a n 
hat man unmittelbar (24, (1), (2); 25, (6)) 
Dy = na 0 x'- 1 + (n — + o„_ t ;