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Erster Teil. Differential-Rechnung. 
30. Der Logarithmus. Der mit der Funktion y = log a x T 
wo a > 0 und x > 0 ist, gebildete Differenzenquotient ist 
h 
setzt man — = £, so vollführt e mit Ji zugleich den Grenz 
übergang zu + 0, somit ist 
(A) 
L« = ±0 
Die Existenz und endgültige Bestimmung des Differential 
i 
quotienten hängt also davon ab, ob sich der Ausdruck (1 -j- s) s 
bei gegen Null abnehmendem Betrage von £ einem bestimmten 
Grenzwerte nähert und welches dieser Grenzwert ist. 
Wir lassen e zunächst die Reihe der reziproken natür 
lichen Zahlen durchlaufen, betrachten also den Ausdruck 
(B) 
für ein beständig wachsendes positives ganzes n. Dann ist 
n 1 , n{n — 1) 1 , n(n — 1) (n — 2) 1 
T n ^ 1 • 2 n 2 1 • 2 • 3 n f 
. n (n — !)...! 1 
1-2 ... n n rth 
1 
(C) 
2 ^ 1 • 2 • 3 
1 • 2 • 3 
••• + 
1-2 ... n 
mit wachsendem n nimmt jedes Glied der rechten Seite vom 
dritten angefangen zu und es wächst die Anzahl der durchwegs 
positiven Glieder, somit wächst der Wert des Ausdruckes (B) 
mit zunehmendem n unaufhörlich, bleibt aber doch, wie groß 
auch n werden möge, schon von n = 2 angefangen kleiner als 
Die Zahl a n selbst, die mit wachsendem n immer größer 
und größer wird, bleibt doch beständig kleiner als 3; denn es ist