Zweiter Abschnitt. Differentiation von Funktionen einer Variablen. 65 
üt fortsetzbare 
> der Wert von 
beschlossen ist, 
n kleiner ge- 
itive Zahl, in- 
3n Schnitt (2); 
it e bezeichnet 
ehern sich der 
3rt; es ist also 
beiden Zahlen- 
die einfachere 
1 
L • 2 • 3 * 
q aisteilen gibt, 
Srrenzwert des 
ns Unendliche 
d seit 1735 kon- 
ing gelangte sie 
luchstaben c. 
wachsen möge. Zunächst trete an die Stelle von n die posi 
tive stetige Variable z\ ihr Wert wird, wenn er nicht eine 
ganze Zahl ist, zwischen zwei aufeinanderfolgende ganze Zahlen, 
n und n -f- 1, zu liegen kommen, so daß 
n < z < n + 1; 
daraus folgt, daß 
1 + — > 1 + — > 1 + —i~r 
n 'z ' n 4-1 
und in verstärktem Grade 
(i+r>K)‘>(»+ 
1 \w. 
n-\- 1/ ’ 
der erste Teil dieser Relation -f- *= (l + 
konvergiert laut (H) mit wachsendem n gegen die Grenze e, weil 
der zweite Faktor den Grenzwert 1 hat; der dritte Teil -f- 
/ i \?i + l / j \ 
= 1 J : -f- - _j_ j-j konvergiert ebenfalls gegen e, weil 
der Divisor die Grenze 1 hat; folglich konvergiert auch der 
eingeschlossene Teil gegen die nämliche Grenze und es ist 
(J) lim (l + i-V= e . 
Beachtet man noch, daß *= = (l + — 
— (l + ^ZTi) ' (l + 7 und läßt nun z gegen + oo 
konvergieren, so hat der erste Faktor rechts den Grenzwert e, 
der zweite den Grenzwert 1, so daß auch 
(K) lim [l + e 
Daraus ergibt sich endlich, daß 
i 
lim (1 -f s) e = e 
f = ± o 
ist; die Formel (A) lautet demnach endgültig 
(2) 
A, lo S« » 
] °Sa e 
Dasjenige Logarithmensystem, welchem die Zahl e als 
Basis zugrunde liegt, wird das natürliche Logarithmensystem 
genannt; es ist das in der reinen Analysis ausschließlich an- 
Czuber: Vorlesungen. I. 3. Aufl. 5