Zweiter Abschnitt. Differentiation von Funktionen einer Variablen. 69 
Funktionen tg, cotg in bezug auf die Zahl n, sie besitzen die 
Periode ?c. Da nun periodische Funktionen an Stellen, welche 
um ein Vielfaches der Periode voneinander verschieden sind, 
in allen Stücken übereinstimmen, so werden sie dort auch 
gleiche Differentialquotienten aufweisen; die Ableitungen der 
trigonometrischen Funktionen sind somit notwendig periodische 
Funktionen mit der nämlichen Periode. 
Vermöge der Beziehungen, welche zwischen den trigono 
metrischen Funktionen eines Bogens bestehen, genügt es, den 
Differenzenquotienten einer derselben zu bestimmen. Wir wählen 
als solche 
y = sin x. 
Der Differenzenquotient ist 
sin (x — sin X 
~ h 
2 cos 
+ 
h \ . h 
■— sin — 
2 / 2 
= cos (x + y) 
konvergiert nun h gegen die Grenze Null, so hat cos [x + —j 
wegen der Stetigkeit dieser Funktion den Grenzwert cos x, 
. h 
sln Y 
—aber laut 16, 2) den Grenzwert 1; somit ist 
Y 
(6) Dsinx = cos#. 
Da ferner y = cosa; = sin ^und — 1 der Diffe 
rentialquotient von y— x fi0 folgt aus (6) 
also 
(V 
D cos x = T> sin = — cos (y ~ x ) > 
to; x = 
D COS X = 
sin« 
cos« 
- sin X. 
und y = cotga; 
erhält man 
Für y 
nun mit Hilfe der Formeln (6), (7) auf Grund von 26, (9) 
COS 2 « -f- sin 2 « -r% . — sin 2 « — cos 2 « 
D tg « = 
D cotg x — 
d. i. 
(8) 
(9) 
D tg x = sec 2 x, 
D cotg = — cosec 2 a;.