Zweiter Abschnitt. Differentiation топ Funktionen einer Variablen. 73 
jede aus den elementaren Funktionen irgendwie durch eine 
endliche Folge топ Rechenoperationen zusammengesetzte expli 
zite Funktion zu differentiieren. Sie sind die Grundformeln 
und Grundregeln der Differentialrechnung. 
34. Die Hyperbelfunktionen. Zu den elementaren 
transzendenten Funktionen zählt man auch die Hyperbelfunh- 
tionen, so genannt, weil sie geometrisch mit der gleichseitigen 
Hyperbel in ähnlicher Weise Zusammenhängen wie die trigono 
metrischen (Kreis-)Funktionen mit dem Kreise. Sie sind um 
die Mitte des 18. Jahrhunderts топ Y. Riccati mit den heute 
üblichen Bezeichnungen eingeführt und besonders von Lambert 
weiter ausgebildet worden. 
Ihre analytische Definition kann mit Hilfe der natürlichen 
Exponentialfunktion wie folgt geschehen. Ist и die unbe 
schränkte reelle Variable, so wird 
als hyperbolischer Kosinus (cosh u) 
als hyperbolischer Sinus (sinh u) 
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von u erklärt; mit Hilfe dieser beiden Funktionen definiert 
man die hyperbolische Tangente, Kotangente, Sekante und 
Kosekante ganz nach Art der trigonometrischen Funktionen, 
indem man schreibt: *) 
cosech и — —r-r— 
sinn и 
Aus diesen Definitionen lassen sich Relationen zwischen 
den genannten Funktionen ableiten, ebenso zahlreich wie die 
trigonometrischen Formeln und von ähnlicher Bauart. Einige 
derselben mögen hier zusammen gestellt werden. 
Aus 
e u e -u 
, cosh и = — , sinh и = 
folgt mit Rücksicht auf die anderen Definitionen unmittelbar: 
*) Neben den hier gebrauchten Bezeichnungen sind auch andere in 
Verwendung, so ©in, Sof, %q, (£otg, ©ec, ßofec.