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Erster Teil. Differential-Rechnung. 
cosh u -f- sinh u — e u 
cosh u — sinh u = e~ u 
cosh 2 u — sinh 2 u = 1 
tgh 2 u sech 2 u — 1 
cotgh 2 u — cosech 2 u = 1; 
die leicht zu erweisenden Identitäten: 
e 2 u — e ~ 2u = {e u — e~“)(e“ + e~ u ), 
2(e u+v — e~ u ~ v ) = {e u — e~ w ){e v + e~ v ) + (e v — e~ v ){e u + er*] 
2(e u+v + er*-*) = (e u + e~ u ) {f + e~ v ) + {e u — e~ u )(e v — er 9 ] 
schreiben sich nunmehr: 
sinh 2u = 2 sinh w cosh w, 
sinh (u + v) = sinh w cosh v -f- sinh v cosh u, 
cosh (u -f v) = cosh m cosh v + sinh u sinh v. 
Die Differentiation der neuen Funktionen ist auf die der 
Exponentialfunktion zurückgeführt; es ergibt sich: 
D cosh u = 
= sinh u 
2 
D sech u = — sin ^ 2 M - = — tgh u sech u. 
cosh u 
-n. UUÖJUL W . -i •, 
JD cosech^ = . , o = — cotgiiM cosecnw. 
ai n h J u ° 
Die geometrische Bedeutung der Hyperbelfunktionen erhält 
man durch folgende Betrachtung. Der Kreis in Fig. 8 sei um 
0 mit dem Radius 1 beschrieben. Ist 6 das Bogenmaß des 
Winkels AOM, BS die in M an den Kreis gelegte Tangente, 
so hat man: 
OP = cos 6, OB = sec 6 
MP = sin 6, O$ = cosec0 
MB = tg 0, MS = cotg 0.