Zweiter Abschnitt. Differentiation von Funktionen einer Yariablen. 77 
ledeutung der 
nnen, da ^ 0 
s Funktionen 
Integralrech- 
ie Fläche des 
fumenten u, 0 
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— e u 
vor der Ein 
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irhelamplitude 
ebenem u das 
der Hyperhel- 
Tafeln der Hy- 
e delle funzioni 
'unktionentafeln, 
Man kann auf die Hyperhelfunktionen den Prozeß der 
Umkehrung ebenso anwenden wie auf die Kreisfunktion und 
gelangt dadurch zu einer neuen Gruppe elementarer Funktionen, 
für die der Name hyperbolische Areafunktionen (mit Rücksicht 
auf die geometrische Bedeutung des Arguments u) und die Be 
zeichnungen arsinh, arcosh, usw. vorgeschlagen worden sind. 
Aber so wie sich die Hyperhelfunktionen durch die Exponential 
funktion, so lassen sich ihre Umkehrungen durch logarith- 
raische Funktionen darstellen. Man braucht nur die jeweilige 
Definitionsgleichung, indem man gleichzeitig den Wert der 
Funktion mit einem Buchstaben z. B. x bezeichnet, nach u auf- 
aulösen. So ergeben sich denn aus den Ansätzen 
e u _ e ~ u e u -j- e ~ w 
sinh u = 2 - = x, cosh u = i 2 = x 
u — U Jl I —u 
tgh u = = x, cotgh u = ~~—- = x 
° e u -i-e~ u ’ ° e u —e~ u 
unter Beachtung der Realitätsforderung durch Umkehrung die 
folgenden Darstellungen: 
arsinhx = l{x -f- Yx 2 -f-1) 
arcosh x = l (x + Yx 2 — l) 
artgh x = Z]/^35 
arcotgh x = l 
35. Beispiele. In den nachstehenden Beispielen ist der 
Difierentialquotient zunächst in der Form angegeben, wie er 
sich bei Anwendung der Regeln unmittelbar ergibt, an zweiter 
Stelle in seiner einfachsten Gestalt, mit Fortlassung der 
Zwischenrechnungen; in den späteren Beispielen ist nur das 
Endresultat mitgeteilt. 
1) Dx m (ax n b) p = mx m ~ 1 (ax n h) p 
px m (ax n + h) p ~ x • nax n ~ 1 
= x m ~ l (ax n b) p ~ 1 \(m + np)ax n -f mh\ 
„x x — a (x — b) {x — c) — (x — a)(x — c-\-x — b) 
^ (x — b) (x — c) (x — b) 2 (x — c) 2 
bc — ab — ac -\-2ax — x 2 
{x — b) 2 (x — c) 2