«echnung. 
Dritter Abschnitt. Einfache und mehrfache bestimmte Integrale. 191 
ieraus weiter 
v 2 — U 2 
/{u 2 — c 2 )(c 2 ~v 2 ) ’ 
issetzungen ist P positiv, 
Zeichen genommen wird, 
jr erste Quadrant einer 
en, etwa der, für welche 
y 
u 2 — v i 
1/{u 2 — c 2 )(c 2 — r 2 ) 
dudv 
U 2 — V 2 
y c 2 —v 2 
tegrale. So nennt man 
Integrationsgebiete oder 
Funktion beziehen und 
s Gebiet erstrecken, im 
ralen, bei denen die in 
gen erfüllt sind. 
)n, welche auf dem Inte- 
rt man durch den Grenz- 
auf ein Gebiet bezieht, 
ch entsprechend geführte 
eses letztere Gebiet sich 
Grenze nähert; existiert 
das betreifende Doppel- 
r ein unendliches Gebiet 
•ch den Grenzwert eines 
lenden Integrals definiert, 
erweitert, vorausgesetzt 
rklich existiert. 
Beispiele. 1) Für das über das Rechteck OG (Fig. 142) 
ausgedehnte Integral der Funktion fx y {x, y) ergibt sich nach 
den Ausführungen in 286 der folgende Wert: Kg . 142 . 
a b 
fffxyix, y)dxdy =JdxffZjix, y)dy 
(OG) 0 6 
O 
ß 
c 
cv 
r 
2 
- f(a, t) - f(a, 0) - f{0, h) + f{0, 0); 
gleicher Weise ist 
Y 
fffxyix, y)dxdy = f{a, ß) — f{a, 0) - f(0, ß) + /*(0, 0); 
\or) 
das über das hexagonale Gebiet P erstreckte Integral ist der 
Unterschied beider, also 
y) = f(a, h) - f(a, 0) - fi0, h) — f{a, ß) 
+ /■(«, °) + f(0, ß)- 
Von dieser letzten Formel kann in dem Falle Gebrauch 
gemacht werden, wenn fx y {x, y) bei Annäherung an die Stelle 
0/0 unendlich wird, ohne sonst Unstetigkeit zu zeigen; nur 
wenn dann der rechtstehende Ausdruck für beliebige Grenzüber 
gänge lim « = 40, lim ß = -|- 0 einer bestimmten Grenze sich 
nähert, hat das Integral über (OC) unter den bemerkten Um 
ständen einen bestimmten Wert. 
Ein solcher Fall entsteht beispielsweise, wenn 
fix, y) = arctg y x , 
weil dann 
f" ( x - y'~ x8 
lxy\X, y) 
für lim x — 0, lim y = 0 unendlich wird; hier ist nun 
ti a ) 0) = arctg0 = 0, /'(0, h) = , ebenso f[a, 0) = 0 und 
fi®> ß) = y, folglich 
ff. 
y‘ — X* J J . b . ß 
, , . ,- g - dxdy = arctg — — arctg —: 
{x* -f y 2 ) 2 v ° a e a ’