RÉDUCTION, PAR UN CHANGEMENT DE VARIABLES, 
et 7) = sin^ = sin$x satisferont à l’équation (44)> et, par suite, les ex 
pressions y— e^Çcosfix ou sin px), à l’équation proposée (43) ; tandis 
que, clans le second cas, les solutions, analogues aux précédentes, 
r) = cosh| ou sinh£, y = c“*(coshpa? ou sinhp#), et la solution en 
core plus simple Y) = 6’, / = e* x efi x = e ia+ P )x , s’offrent de même au 
premier coup d’œil. Et l’on peut d’ailleurs y prendre à volonté la 
constante ¡3, définie uniquement comme racine carrée de la quantité 
positive donnée ¡3 2 , avec le signe -+- ou le signe — ; ce qui ne change 
rien, du moins en valeur absolue, à ces expressions de y où entre soit 
un sinus, soit un cosinus, naturels ou hyperboliques ; mais ce qui a plus 
d’importance pour la dernière expression y = e (a+ P );r , qui donne alors 
les deux exponentielles distinctes y = e (ct± P )x . 
En résumé, le changement effectué des variables, en ramenant 
l’équation (43) à la forme élémentaire Y) / '=rqzY), nous a fait connaître 
immédiatement, pour cette équation (43) : i° les deux solutions 
y — e ax (cos $ x ou sin^a?), 
quand le dernier terme ± ¡3 2 / est pris avec le signe supérieur +, et, 
2°, à volonté, les deux solutions 
y = e* x (coshpa? ou sinh[3#), ouïes deux, y = e (a± P ,x , 
quand ce dernier terme ± ¡3 2 / est pris, au contraire, avec le signe in 
férieur —. Il appartient au Calcul intégral de montrer que l’expres 
sion générale demandée de / s’obtient en faisant, dans chaque cas, la 
somme des deux solutions ou expressions particulières ainsi trouvées, 
après les avoir multipliées respectivement par deux constantes arbi 
traires C, Cj. 
Enfin, comme troisième exemple, supposons la fonction y de x 
astreinte à vérifier l’équation 
(O) (,-ÿ)-(2A-flg)=(,±^)r. 
qui est précisément celle du problème de la charge roulante auquel il 
a été fait allusion à la fin de l’avant-dernière Leçon (p. 79) : A, /, k 
y sont trois constantes positives et x j varie de — / à /. J’ai reconnu 
qu’il convenait de prendre pour variable indépendante % le nombre 
dont la tangente hyperbolique égale le rapport y, nombre croissant 
de —00 à 00 pendant que ce rapport grandit de —1 à 1, et, pour 
fonction y), le produit de ~ par coshç. Posons donc : d’une part, 
(46) a? = Z taûgh ? ; d’où æ' =—7—-r 
cosh 2 £ 
d _ cosh 2 £ d _ 
dx l d\ ’