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anciennes dérivées partielles exprimées en fonction des nouvelles. 89* 
où toutes les parenthèses {x, y, z) doivent, dans chaque application 
qiron fera, être partout remplacées soit par la première des lettres 
qu’elles contiennent, soit par la seconde, etc. 
Du reste, une fois que les dérivées premières en x,y, z des fonc 
tions proposées u, v, w, ... se trouvent exprimées de la sorte en 
f, ï), i, ce sont de nouvelles fonctions de £, r\, Ç; et leur propre diffé 
rentiation en x, y, z se fait, par conséquent, au moyen des formules 
symboliques (18), de même que, dans le cas d’une seule variable indé 
pendante, deux applications successives de la formule (38) de la der 
nière Leçon [p. 80*] avaient donné une dérivée seconde en x. De 
proche en proche, on obtiendra donc en fonction de ç, 7), Ç, toujours 
par le même procédé, les dérivées partielles de tous les ordres des 
fonctions u, v, w, ... par rapport aux anciennes variables x, y, z. 
Et la question sera résolue. 
Si l’on ne se contentait pas de changer les variables indépendantes, 
mais qu’on voulût aussi remplacer les fonctions u, v, w, . .. par 
d’autres, U, V, W, .. ., reliées à elles et à ç, r h Ç au moyen de cer 
taines équations, il suffirait évidemment de substituer, à u, v,w, . . ., 
leurs valeurs en ç, tj, Ç, U, Y, etc., dans les seconds membres de la 
relation (17) et de toutes les autres relations semblables. 
68*. — Exemple, dans un cas où l’on ne change pas toutes les variables 
indépendantes. 
Appliquons cette théorie à un exemple tiré de l’Hydrodynamique. 
Supposons que x, y, z soient les coordonnées, à l’époque t, des di 
verses particules d’une certaine masse fluide en mouvement, rappor 
tée à un système d’axes rectangulaires fixes, et que r ( , Ç désignent 
les coordonnées de ces mêmes particules dans un certain état spécial 
du fluide, état soit réel, soit seulement fictif, qu’on prend comme 
point de départ ou terme de comparaison, il est clair que les coor 
données actuelles x, y, z sont certaines fonctions, non seulement de t, 
mais aussi (en tant que variables avec la particule) des coordonnées, 
dites primitives, ;, r n Ç : ce qui n’empêche pas de pouvoir aussi con 
sidérer x, y, z comme variables indépendantes, car les phénomènes 
produits, à l’époque t, dans les diverses régions (x, y, 5) de l’espace 
occupé par le fluide, s’expriment évidemment par des fonctions de 
point où figurent ces coordonnées actuelles x, y, z. Ainsi, les équa 
tions (i3) de la transformation contiendront ici t dans leurs seconds 
membres, en outre de ç, rj, t. Cela posé, l’état actuel de mouvement 
du fluide est défini par les trois dérivées 
djæ, 7, z) 
dt 
y qui sont, au point