CHANGEMENTS DE CES COORDONNÉES.
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et il suffira de prendre la droite sur laquelle se font les projections,
perpendiculaire au plan de deux, coordonnées de l’un des systèmes,
au plan des yz par exemple (de manière à annuler les deux cosinus
correspondants B, C), pour que cette relation (29), divisée par A,
exprime la troisième coordonnée, x, de ce système, en fonction li
néaire des coordonnées £, rj, Ç de l'autre système. Ainsi, les équations
(i3) de la transformation, de même que leurs inverses donnant £, r n Ç
en x, y, z. sont ici du premier degré, et toutes les dérivées ——-——— se
/ d{x,y,z)
réduisent à des constantes. Alors, dans les expressions des dérivées
d’ordre supérieur des fonctions de point, les coefficients des formules
symboliques (18), indépendants de £, r h Ç, n’amènent aucun dédou
blement de termes, mais passent simplement au devant ou en dehors
des signes de différentiation et la formation de ces déri
vées se fait, comme on a vu plusieurs fois (pp. 112 et 70* ), par le même
mécanisme que la multiplication de polynômes où ~ dési
gneraient des quantités algébriques variables. Les dérivées partielles
des divers ordres s’indiqueront donc par des produits symboliques,
comme ceux qui expriment (p. n3) les dérivées complètes d’ordre
supérieur des fonctions composées de fonctions linéaires d’une va
riable.
71*. — Analogie des formules de transformation pour les dérivées et
pour les coordonnées, quand les axes sont rectangulaires.
Mais supposons que le nouveau système d’axes, celui des £, tq, Ç,
soit rectangulaire. Alors, pour déduire ;, par exemple, de la formule
générale (29), il faut prendre comme droite de projection une perpen
diculaire au plan des tjC, telle que l’axe des £ lui-même : il vient donc
a — 1, et A, B, C sont les trois cosinus des angles faits respectivement
par 0£ avec Ox, Oy, Oz. J’appellerai ces cosinus a, b, c, et, de
même, a', b', c' les trois cosinus analogues pour Ot), enfin a", b", c",
les trois cosinus analogues pour OÇ. Une manière très simple de se
rappeler ces sortes de notations est d’en former un Tableau à double
1 y
Z
?
a
1 b
c
f\
a '
\b'
c'
ç
a'
\ b "
c"
entrée comme celui qu’on voit ci-dessus. On sait d’ailleurs que, par
B. — I. Partie complémentaire. 7