98* ANALOGIE DES FORMEL. DE TRANSE., POUR LES DERIV. ET POUR LES COORD.,
suite de la rectangularité de OS, Otj, (H, les trois groupes de cosinus
a, aab, b', b"; c, c', c" vérifient respectivement les relations
(3o) aP- -+- a' 2 -1- à" 2 — i, 6 2 -+- ô' 2 -+- b 2 = i, c--t-c -c 2 = i % ,
ce qui ne laisse d'arbitraires que deux cosinus sur trois dans chaque
groupe ou pour chacun des anciens axes Ox, Oy, Oz. Les expressions
de T), Ç seront ainsi
(3t) ’q = ax-v-by-\-c z, r\ = a!xb'y-k-c'z, Ç — a" x -f- b y -+- c" z.
, . , d(£, T), Ç) , i , . ,
Par suite, les dérivées constantes -7— égalent précisément les
d\X, y 1 z )
neuf cosinus a, a', a", b, . .., c"; et la relation (i4) ou ses ana
logues, rendues symboliques par la suppression de la lettre u, de
viennent
(3a)
d
d{x, y, z)
(a, b, o) !+(«'. y, c')Î
{à',b", c")
d_
dÇ
On aurait trouvé plus intuitivement ces formules de transforma
tion, en cherchant, par exemple, la dérivée de la fonction de point u
le long du chemin MM'—dx parallèle à Ox, dérivée qui est bien ce
qu’on appelle puisque y et z ne varient pas le long de MM'. A
cet effet, on mène (p. 96*), de M à M', la ligne brisée M/i/iM',
dont les côtés M n, np, p M'sont respectivement parallèles aux axes
des T], Ç. Ces côtés expriment, comme on sait, les accroissements
positifs ou négatifs de,, dt\, dt, de S, tj, Ç le long de MM'; en sorte que
la différentielle de u correspondante, qu'on peut écrire
du
dï
„ du
+ _ dfl +
du
dt,
dï,
donne, en divisant par dx ou MM',
du _ M n du np du p M' du
dx = MM 7 d\ + MM' d^ + MM 7 dÇ '
Or les trois droites M/i, np, pM' sont bien, à cause de leur rectan
gularité mutuelle, des projections de MM'; et leurs rapports à MM'
égalent par conséquent les trois cosinus a, a', a!' de leurs angles avec
cette droite.
Gela posé, observons que, si les axes rectangulaires étaient, non
plus ceux des £, t], Ç, mais ceux des x, y, z, il faudrait, dans les for
mules (3i), d’une part, échanger entre eux x, y, z et \, 7), Ç, d’autre
part, remplacer a, b, c par les cosinus a, a', a!' du nouvel axe rec-