C1IAN6. INFINIMENT PETITS D’AXES : COSINUS DIRECT. A Y EMPLOYER. 
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7i*. — Changements infiniment petits d’axes coordonnés rectangles : 
leur réduction à trois rotations élémentaires. 
Quand les nouveaux axes O £, O?), O Ç diffèrent respectivement très peu 
des anciens Ox, Oy, Oz, les trois cosinus a, b', c" sont ceux des petits 
angles \0x, t\ Oy, ÇOs, et l’on voit, en les exprimant, d’après une for 
mule connue, en fonction des sinus des arcs moitiés ce qui les change 
en i — a sin 2 
ou, 
sensiblement, en i — 
(\ Ox)* 
peuvent être réduits à l’unité, à des erreurs près du second ordre de pe 
titesse, c’est-à-dire de l’ordre des carrés de sin;0^r, sinrjO/, sinÇOs. 
Quant aux angles que font O ç avec O y et Ou, ou Ox, avecO^; et Ox, 
ou OÇ avec Ox et O y, il y a avantage à introduire à leur place, dans les 
formules, leurs projections sur les plans respectifs des xy et des zx, ou 
des yz et des xy, ou des zx el Aesyz, en même temps qu'on projettera 
également sur les plans respectifs des yz, des zx ou des xy les trois 
angles 7)0Ç, £0x,. Toutes ces projections d’angles sur des plans 
n’ayant par rapport aux leurs que des inclinaisons très petites du pre 
mier ordre se feront, à fort peu près, en vraie grandeur, ou donne 
ront, sur les plans de projection, de nouveaux angles ne présentant 
avec les proposés que des différences du second ordre de petitesse (*) ; 
(*) On reconnaît qu’un angle se projette en vraie grandeur, sauf erreur rela 
tive du second ordre de petitesse, sur un plan n’ayant par rapport au sien qu’une 
inclinaison très petite du premier ordre, en construisant sur cet angle un triangle 
dont il occupe un sommet, et qui, en projection sur le second plan (supposé 
horizontal pour fixer les idées), aura ses cotés multipliés par les cosinus des 
angles, du premier ordre de petitesse, marquant leurs pentes respectives, 
cosinus inférieurs à l’unité de quantités du second ordre de petitesse seule 
ment; en sorte que les rapports respectifs des trois côtés et aussi, par suite, les 
angles, peuvent être censés rester les mêmes, quand on passe du triangle à sa 
projection. Mais celte idée mérite quelques développements, ne serait-ce que pour 
permettre d’apprécier les petits écarts du second ordre existant entre l’angle pro 
posé et sa projection. 
Pour traiter cette question dans toute sa généralité, proposons-nous donc 
d’évaluer l’angle V de deux droites OM, ON, en fonction de sa projection rnOn 
ou v sur un plan horizontal, et aussi des angles faits avec ce plan par certaines 
droites tracées sur le sien, notamment, des deux, mOM = a et nON = ¡3, 
qui marquent les pentes de ses deux cotés, angles, dont a désignera le plus 
grand, comptés tous les deux positivement, ou l’un, a, positivement et l’autre, 
P, négativement, suivant qu ils seront ou ne seront pas d’un même coté par 
rapport au plan de projection mOn mené à partir du sommet 0 de l’angle V