COMPLÉMENT A LA HUITIÈME LEÇON. 
ÉLIMINATION DES FONCTIONS ARBITRAIRES PAR LA DIFFÉRENTIATION ; 
ÉTUDE DES FONCTIONS HOMOGÈNES; APPLICATION DU THÉORÈME 
DE CAUCHY SUR LE RAPPORT DES ACCROISSEMENTS SIMULTANÉS 
DES FONCTIONS A LA THÉORIE DES ASYMPTOTES RECTILIGNES. 
79*. — Élimination, par la différentiation, de fonctions arbitraires, et 
formation d’équations aux dérivées partielles qui expriment une pro 
priété du plan tangent commune à toute une classe de surfaces, com 
prenant une infinité de familles, ou une propriété de toute une classe 
de fonctions de plusieurs variables indépendantes. 
Lorsque la fonction proposée, que j’appellerai ici u, dépend, en 
même temps que de divers paramètres, de plusieurs variables indé 
pendantes x, y, ..., l’équation qui la définit peut être différentiée par 
rapport à chacune d’elles et donne ainsi naissance à tout autant de 
,. . ii--' du du 
nouvelles équations, contenant respectivement les derxvees ? — > • • • ? 
qu’il y existe de ces variables x, y,.... Ayant de la sorte plus d’équa 
tions que dans le cas d’une seule variable indépendante, on peut ef 
fectuer des éliminations beaucoup plus générales et se débarrasser 
non seulement d’un paramètre, mais même, comme je le montrerai 
bientôt sur un exemple, d’une fonction arbitraire. On forme donc 
alors, entre les variables x, y, . . ., n et les dérivées partielles 
-j-i une équation, dite aux dérivées partielles, commune a 
ce qu’on peut appeler toute une classe de fonctions, catégorie bien 
plus étendue que les familles à un ou plusieurs paramètres consi 
dérées tout à l’heure, car elle en comprend une infinie variété. Quand, 
en particulier, on a deux variables indépendantes x, y, et que u est 
l’ordonnée d’une classe de surfaces, ses deux dérivées en x et y, ap 
pelées pelq dans une précédente Leçon (p. g4) ; définissent (p. 90) la 
direction du plan tangent ou celle de la normale; et, par conséquent, 
I équation aux dérivées partielles entre x, y, u, p et q, commune a 
toutes les surfaces considérées, exprime une propriété de leur plan 
tangent ou de leur normale.