COMPLÉMENT A LA HUITIÈME LEÇON.
ÉLIMINATION DES FONCTIONS ARBITRAIRES PAR LA DIFFÉRENTIATION ;
ÉTUDE DES FONCTIONS HOMOGÈNES; APPLICATION DU THÉORÈME
DE CAUCHY SUR LE RAPPORT DES ACCROISSEMENTS SIMULTANÉS
DES FONCTIONS A LA THÉORIE DES ASYMPTOTES RECTILIGNES.
79*. — Élimination, par la différentiation, de fonctions arbitraires, et
formation d’équations aux dérivées partielles qui expriment une pro
priété du plan tangent commune à toute une classe de surfaces, com
prenant une infinité de familles, ou une propriété de toute une classe
de fonctions de plusieurs variables indépendantes.
Lorsque la fonction proposée, que j’appellerai ici u, dépend, en
même temps que de divers paramètres, de plusieurs variables indé
pendantes x, y, ..., l’équation qui la définit peut être différentiée par
rapport à chacune d’elles et donne ainsi naissance à tout autant de
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nouvelles équations, contenant respectivement les derxvees ? — > • • • ?
qu’il y existe de ces variables x, y,.... Ayant de la sorte plus d’équa
tions que dans le cas d’une seule variable indépendante, on peut ef
fectuer des éliminations beaucoup plus générales et se débarrasser
non seulement d’un paramètre, mais même, comme je le montrerai
bientôt sur un exemple, d’une fonction arbitraire. On forme donc
alors, entre les variables x, y, . . ., n et les dérivées partielles
-j-i une équation, dite aux dérivées partielles, commune a
ce qu’on peut appeler toute une classe de fonctions, catégorie bien
plus étendue que les familles à un ou plusieurs paramètres consi
dérées tout à l’heure, car elle en comprend une infinie variété. Quand,
en particulier, on a deux variables indépendantes x, y, et que u est
l’ordonnée d’une classe de surfaces, ses deux dérivées en x et y, ap
pelées pelq dans une précédente Leçon (p. g4) ; définissent (p. 90) la
direction du plan tangent ou celle de la normale; et, par conséquent,
I équation aux dérivées partielles entre x, y, u, p et q, commune a
toutes les surfaces considérées, exprime une propriété de leur plan
tangent ou de leur normale.
