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d’une branche infinie de courbe, et SON ASYMPTOTE. j 2 q» 
sa dérivée/'. Soient (cr p ,/ 0 ) un point de la courbe très éloigné et 
un autre point pris incomparablement plus loin encore, ou tel, que le 
rapport de wC 0 à égale nue quantité fort petite z. Comparons entre eux 
les accroissements éprouvés par les deux fonctions continues et à dérivée 
continue ^^, quand x y passe de la valeur x 0 à la valeur x v Ce 
rapport, étant celui de ^ ^ à- — , vaudra le quotient de 
r 0 — x 0 ^ par i — ou par i — z, et, d’après le théorème de Cauchy, 
il égalera le rapport, y — xy', des dérivées, Xy ~ r , —, de - et de 
x- X 2 X 
-, pour une certaine valeur x intermédiaire entre x 0 et x v . On 
aura donc 
Y\ 
«) 
y*—x 0 77 =(y — jy')( i- 
Uj J 
0, 
relation facile à interpréter, car y — xy' est l’ordonnée à l’origine 
de la tangente menée à la courbe en {oc, y), c’est-à-dire la distance 
séparant l’origine du point où l’axe des y se trouve coupé par cette tan 
gente (qui a pour coefficient angulaire y'), et y 0 — x 0 — est,deméme, 
Xi 
l'ordonnée à l’origine de la droite menée en {x 0 , y 0 ) dans la direction 
définie par le coefficient angulaire — , ou parallèlement à la droite 
Xy 
joignant l’origine au point {x x , y t ). 
11 est clair, d’après celle formule (22), que, si l’ordonnée à l’origine 
de la tangente tend vers une certaine limite b à mesure que x grandit, 
l’ordonnée à l’origine y 0 — x 0 ~ tendra aussi vers b. Et les quotients, 
y 
- — y' et — — — , de ces deux ordonnées finies, par x et devien- 
X J X 0 Xi ’ 1 °’ 
(Iront infiniment petits; ce qui, donnant, avec une erreur relative de 
plus en plus faible, —° = — et y'—'—, montre, d’abord, en faisant 
1 x 0 Xi J x 
varier.#,, indépendamment de x t , que - tendra vers une certaine li 
mite finie, que j’appellerai a, et, ensuite, que y' tendra aussi vers cette 
limite a. Donc, d’une part, la tangente, définie complètement par 
son coefficient angulaire y' et son ordonnée à l’origine y — ocy', ad 
mettra une position limite; et, de même, la droite menée par (#„,y 0 ) 
dans la direction que définit le coefficient angulaire en admettra 
B. — 1. Partie complémentaire.