l3o* RAPPORTS EXISTANT ENTRE LES TANGENTES, TRÈS ÉLOIGNÉES, 
une analogue, appelée, comme on sait, l’asymptote à la courbe, qui s’en 
approche indéfiniment (car on peut, en construisant cette droite, mobile 
le long de la courbe, prendre Xi — oo ou ~ = a, de manière à ne la 
déplacer que parallèlement à elle-même, suivant Taxe des/, delà 
quantité restreinte, constante pour toute son étendue, dont varie son 
ordonnée à l’origine). D’autre part, ces deux positions limites n’en 
feront qu’une. Donc, quand la tangente s’approche d’une position 
limite, celle-ci est bien l’asymptote, déterminée, de la manière 
connue, par son coefficient angulaire et par son ordonnée à l’ori 
gine. 
Mais supposons, réciproquement, qu'une asymptote à la branche de 
courbe existe dans le plan, et appelons a son coefficient angulaire, b 
son ordonnée à l’origine. La parallèle qu’on lui mènera par (#„, r„) 
aura son ordonnée à l’origine j 0 — ax 0 extrêmement peu différente 
de b ; d’où il suit, en divisant par l’abscisse très grande x 0 , que la diffé 
rence — — a sera extrêmement petite, ou que le rapport ~ tendra vers 
a à mesure que x croîtra. Prenons x t assez grand pour que —diffère 
de a incomparablement moins que — > ou pour que la différence 
X Q 
y 0 — x 0 — se confonde presque avec j 0 — ax 0 et, par conséquent, avec 
X\ 
h. Il est clair, d’après (22), que l’on aura sensiblement y — xy'—b, 
équation d’où résultera, en divisant par l’abscisse très grande x, 
v'= sensiblement — ou a; c’est-à-dire que la tangente menée à la 
J x 1 
courbe en (x, y) aura presque la même ordonnée à l’origine et la 
même direction que l’asymptote. Ce raisonnement pouvant être répété 
avec une infinité de valeurs différentes, de plus en plus grandes, de 
x 0 , de x l et, par suite, de x, on voit que l’existence d’une asymptote 
entraine bien celle d’une infinité de tangentes dont les positions sur 
le plan diffèrent de moins en moins de la sienne. 
Il faut donc que l’ordonnée à l'origine de la tangente, y — xy', ne 
tende vers aucune limite, mais oscille indéfiniment dans une étendue 
sensible, en augmentant et puis diminuant une infinité de fois, pour 
que la suite continue des positions de la tangente ne tende pas vers 
l’asymptote. Or cela suppose que la dérivée de y — xy', dérivée qui 
est y - ' — y' — xy" — — xy", change de signe une infinité de fois, ou 
que la dérivée seconde y" n’en change pas moins souvent elle-même. 
Un tel fait n’arrivera jamais dans une courbe algébrique; car, d’après 
l’expression de y" qu’on a appris à calculer au n° 36 (p. 111), ses