COMPLÉMENT À LA NEUVIEME LEÇON. 
SÉRIE DE TAYLOR POUR LES FONCTIONS DE PLUSIEURS 
VARIABLES; ETC. 
96*. — Application de la série de Taylor au calcul le plus approché 
possible des dérivées d’une fonction par le moyen de deux ou de 
plusieurs valeurs voisines de la fonction. 
Comme application de la formule de Taylor dans le cas d’accroisse 
ments h très petits, cherchons la meilleure manière d’évaluer approxi 
mativement les deux dérivées première et seconde f\x), f"{x) d’une 
fonction f{x), au moyen d’une suite de valeurs de f{x) correspon 
dant à des valeurs de la variable voisines et équidistantes, comme 
x — /г, x, x H- h, x H- 2h, etc. 
Et, d’abord, la relation (i3) [p. 15a], si l’on y change x en ^—7 
et puis h en 2h, devient 
. ... . . ... f(x-hh)—f(x — h) 
(•2З) /(a?) = (sensiblement) — — ——; 
ce qui montre que l’expression la plus approchée de f'{x) par un 
rapport de petites différences s’obtient en divisant par Ax — h non 
pas l’accroissement, A J{x) — f[x H- h) — /(¿c), qui distingue de la 
valeur actuelle f(x) de la fonction sa valeur suivante f{x h- h), ni la 
différence analogue, Af(x — h) = f{x) — f{x — h) de la valeur ac 
tuelle à la valeur précédente f{x — h), mais leur demi-somme ou 
moyenne arithmétique, exprimée par 
f(x-\- h) —/(a? — h) 
et dans 
laquelle paraissent, à l’exclusion de la valeur actuelle f(x) de la fonc 
tion, les deux valeurs précédente et suivante f(x — /1), f{x -+- h). 
Quant à la dérivée seconde f"{x), en la regardant comme la déri 
vée de f\x), on trouvera par la formule (28), dans laquelle on rem 
placerait 2h par h et/par/', 
f\x) = (sensiblement) 
1 
h 
ÎM-Î)]