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mesures de la longueur d’un même objet, c’est-à-dire la rc ième partie de
leur somme, donne, en général, une évaluation sensiblement plus
évadé de celte longueur qu'elles ne le sont elles-mêmes : autrement
dit, l’erreur de la moyenne, n ièœe partie de la somme algébrique des
erreurs affectant les résultats individuels, décroît le plus souvent
quand n grandit (’). C’est du moins ce qu’indique le sens commun,
susceptible d’être contrôlé par l’expérience toutes les fois que de nou
veaux perfectionnements apportés aux instruments ou aux méthodes
d’observation permettent d'augmenter la précision des mesures et de
corriger les résultats antérieurs.
En général, chaque expérience faite se traduit par une équation,
plus ou moins approchée, où il ne reste d'inconnu que les paramètres
cherchés. Supposons, pour fixer les idées, qu’il s’agisse d’avoir l’ex
pression des longueurs / d'une barre métallique à diverses tempéra
tures t, et que n observations aient été faites dans ce but. L’expé
rience avant montré que la relation entre / et t peut être mise à très
peu près sous la forme
l — a ht -1- et-,
les paramètres à déterminer seront <7, b, c. Or, en admettant qu'une
première température observée t x ait donné une longueur mesurée
qu’une deuxième température, 1 2 , ait donné une deuxième longueur,
I,, etc., on aura, entre a, b et c, les n équations du premier degré
a -+- t x b -f-1\ c — Zj — o,
a t 2 b t\c — Z 2 — o,
rt -+- t n b -t- tf,C — l n = O.
Si ces n équations étaient compatibles, les valeurs de a, b, c tirées de
trois d’entre elles les vérifieraient toutes. Mais comme, d'une part, la
formule l— a -\-bt -+- et- n’est pas absolument rigoureuse, que, d’autre
(*) On conçoit, toutefois, que la somme algébrique des n erreurs, tout en pou
vant osciller de part et d’autre de zéro quand n grandit, a d’autant plus de jeu
pour croître en valeur absolue que le nombre n est plus grand; d’où il résulte
qu’elle augmentera généralement avec n et que, par suite, l’erreur de la moyenne
ne diminuera pas d’ordinaire dans un aussi grand rapport que l’inverse de n. La
loi d’atténuation probable de l’erreur du résultat moyen, la plus naturelle qui se
présente à l’esprit dans de telles conditions, est la proportionnalité inverse de
cette erreur, en général ou en moyenne, à la fonction monôme de n la plus simple
qui grandisse moins vite que n, savoir, à yn. Aussi cette loi est-elle précisément
celle que d’autres raisons, d’un ordre assez analogue quoique plus difficiles à dé
gager, ont conduit à admettre.