jQg* ABSENCE DE POINTS D’ARRÊT ET DE POINTS ANGULEUX 
dans la ligne MAM' (fig. 20), au point A, appelé, pour cette raison, 
point saillant ou point anguleux, où la direction passe de AT à AT' 
en tournant d’un angle T AT' compris entre zéro et deux droits; ni 
surtout, ce qui violerait encore plus la continuité, que la courbe soit 
interrompue, ou qu’une branche comme ma (fig. 21) vienne, toute 
seule, se terminer en un point a, dit alors point cl arrêt. 
121*. — Application aux courbes algébriques : absence de points 
anguleux et de points d’arrêt dans ces courbes. 
Appliquons cette théorie aux courbes algébriques, pour lesquelles 
F(#, y) est un polynôme d’un certain degré m, à coefficients finis ( 1 ). 
Les dérivées partielles premières de F (x, y) seront des polynômes du 
degré m — 1; celles du second ordre, des polynômes du degré m — 2; 
et ainsi de suite. Enfin, celles du rn ième ordre seront constantes, mais 
non pas toutes milles ; car, dans F {x, y), chaque terme du m' èmc degré, 
de la forme Au? a j m ~ a , aura ses dérivées partielles w ièmes égales à zéro, 
à l’exception d’une seule, prise a fois par rapport à x et m — a par 
rapport à y, à laquelle se réduira la dérivée correspondante de loutle 
polynôme F(tr, y). Donc les conditions de l’énoncé précédent, ou qui 
entraînent l’impossibilité de points anguleux et de points d’arrêt, sont 
remplies, à l’exception parfois de celle qui concerne l’absence de 
toute ligne singulière, le long de laquelle on aurait à la fois p — o, 
q — o. 
Mais examinons à part le cas où il existerait une telle ligne. Ses 
ordonnées correspondant à une infinité d’abscisses voisines x, et que, 
pour chaque valeur de x, j’appellerai (n étant leur nombre) y 1} y if 
y 3 , ..., y n , annuleront à la fois F (x, y) — c, et, par exemple, sa dé- 
(’) Les ellipses, hyperboles et paraboles à axe non focal nul, citées ci-dessus 
(p. 160*), ne peuvent pas être regardées précisément comme algébriques; car, si 
l’on met leurs équations sous forme entière et de manière à y laisser subsister, 
comme il le faut bien, les deux coordonnées x et y, le coefficient du terme en y- 
s’y trouve infini. Pour chacune d’elles, cette équation ne revient à l’égalité y 2 = 0 
qu’autant qu’on y adjoint l’une des li’ois inégalités a 2 —x 2 <o, x~>o. Aussi, prise 
dans son unité ou avant son dédoublement en une égalité et une inégalité algé 
briques très simples, doit-elle être regardée comme transcendante : car ce qui fait 
la transcendance d’une limite d’expressions algébriques, ce n’en est précisément 
pas la complication, rendue généralement par l’effacement de certaines particu 
larités (qui entraîne une allure plus uniforme) inférieure à celle des expressions 
algébriques en approchant beaucoup; mais c’est l’impossibilité de représenter 
cette limite, d’une manière complète, par une expression algébrique à coefficients 
bien déterminés.