EXEMPLES DE POINTS SINGULIERS DANS LES COURBES ALGÉBRIQUES :
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d/{x, y). Et l’on
aura F{x, y) — c =
b{x, y)o{x, y)
J\{X)f{x)
• Or celle rela-
tion montre que le produit ty{x, l)i en tant d 11 ® fonction de
x, est exactement divisible par f\{oc)f{x)‘, et un théorème connu,
sur la décomposition des polynômes en facteurs, apprend alors que
/O), premier avec cp{oc, y), doit diviser exactement <\>{x, y), c’est-
à-dire chacun de ses coefficients totaux des diverses puissances de j,
et que, de même,/^^), premier avec ty{x, y), doit diviser <?{x,y).
En appelant 1 F(oc, y), <F{x, y) les polynômes quotients de <h{x, y)
par /O) et de cp {oc, y) par f 1 {oc), on aura donc identiquement
F {oc, y) — c = W{x, y) <t>{x, y). Autrement dit, la courbe algébrique
considérée F{x, y) — c — o, quand elle a une ligne singulière, se
compose de deux courbes algébriques, ‘b {oc, y) ~ o, ri{x, y) — o,
faisant partie des familles de degrés moindres <P{x, y) = const.,
X F {x, y) — const.
On dédoublerait de même ces courbes en d’autres, et ainsi de
suite, jusqu’à ce qu’on n’eût enfin, comme composant la proposée,
que des courbes algébriques dépourvues de lignes singulières. Si deux
de ces courbes plus simples, <P{x, y) = o et ri{x, y) = o par exemple,
possédaient, sans être identiques, quelque arc commun, on prouve
rait de même, par la considération d’un diviseur commun à <P{x,y)
et à W{x, y), qu’elles seraient encore décomposables en courbes plus
simples; et, finalement, on répartirait tous les rameaux de la courbe
proposée entre des courbes algébriques irréductibles où chacun ne
figurerait qu’une fois. Alors, à partir d’un même point et suivant une
même tangente, on ne compterait dans Tune quelconque des courbes
et, par suite, dans leur ensemble, que des nombres pairs de branches.
Le théorème démontré vers la fin du numéro précédent s’applique
donc à tous les cas d’une courbe algébrique, même en y regardant
comme simples les lignes singulières.
Ainsi, les branches d’une courbe algébrique ri admettent jamais
aucune autre espèce de discontinuité que des rebroussements; et
une telle courbe ne comporte ni points anguleux, ni points d’arrêt.
122*. — Exemples de points singuliers dans des courbes algébriques.
Passons à des exemples, et cherchons d’abord les points singuliers
d’une famille de lemniscates (ou ovales de Cassini). On appelle ainsi
les courbes MN, M'N', M"N", M'A'", etc., formées, les unes, de deux
ovales séparés M, N, les autres, d’un seul orbe ou contour, qui ont
leurs points, M '{x, y) par exemple, à des distances, de deux foyers