FAMILLE DES LEMMSCATES ET SECONDE PARABOLE CUBIQUE. 169*
F, F', dont le produit FM'xF'M' soit constant pour une même
courbe. Appelons c le carré de ce produit, carré qui sera un paramètre
variable de zéro à l’infini, a la demi-distance des foyers, et adoptons
pour axe des x la droite de jonction de ceux-ci, pour axe des y
Fig. 22.
l’autre axe de symétrie des courbes, perpendiculaire sur le milieu
de FF'. Les carrés des deux rayons vecteurs FM', F'M' ayant évi
demment pour expressions (x± a) 2 -hy 2 ou {x* -f- y--\-a 2 )±iax,
l’équation (FM') 2 (F'M') 2 = c de la famille de courbes sera
(9) ( x- -+- y 2 -+- a 2 ) 2 —!\a~x 2 —c.
Son premier membre est une fonction F (x, y) bien déterminée, finie et
continue de x et de y, ainsi que ses dérivées des deux jiremiers ordres
(p = 4x(x*-hy*—a 2 ), q = 4_y(^ 2 -f-y--h a 2 ),
(10) i
( r — 4(3# 2 -i-y' 2 — a 2 ), s — 8 xy, t — 4(ît 2 -+- 3y- -f-a-).
On peut donc appliquer la théorie exposée ci-dessus (p. i56*), et
poser, en premier lieu, les deux équations p — o, q—o. Orlase-
conde revient à y — o et la première, alors réduite à x{x~— a 2 ) = o,
donne sur l’axe des ¿r les trois points x = o, x — zya, c’est-à-dire
l’origine O et les deux foyers F, F'. Ce sont donc les seuls du plan qui
puissent être singuliers. Et comme la différence rt — 5 2 , exprimée par
i6(3a? 2 —a 2 ) (x 2 -t- a 2 ) quand y = o, est positive pour x' 2 = a 2 , néga
tive pour x — o, les foyers F, F' seront des points isolés et, l’origine
0, un point double, où la courbe aura les pentes y' = ± 1 d'après
l'équation /•-h 2sy' ty n — o. Et, en effet, les deux points F, F' sont
ce à quoi se réduit la lemniscate quand c — o, cas où il faut que l’un
ou 1 autre des rayons vecteurs s’annule comme leur produit \Jc.
Quant au point O, appartenant évidemment à la lemniscate (orch-
dmaire ou proprement dite) pour laquelle c — (OF) 2 (Ob') 2 =