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R = a — a(a — b) -+- 3{a — b) sin 2 X. 
I-G* DÉFINITION D’UNE COURBE PAR LA SUITE DE SES COURBURES; 
même élément ds avec l’axe des x décroîtra d’autant; ces deux angles 
seront donc respectivement 1 et son complément, et les deux projec 
tions dy, dx de ds sur les axes, accroissements éprouvés le long de 
l’élément ds par les coordonnées primitivement nulles y et x, égale 
ront les produits de ds par les cosinus correspondants cosX, sinX. Or, 
d’après la même formule (7) [p. 200], où 1 angle de contingence c/0 
dont la normale tourne le long de ds vaudra ici dk, on aura 
ds = R dk = o(k)dk 
et, par suite, 
dx — cp(X) sinX dk, dy = cp(X) cosX dk. 
Donc x et y auront, par rapport à X, les dérivées respectives <p(X) sinX, 
? (X) cosX; et celles-ci, à partir de l’origine oii ces coordonnées s’an 
nulaient avec X, détermineront en fonction de X la suite de toutes 
leurs valeurs x et y, de même que les ordonnées successives d’une 
courbe sont déterminées, en partant d’un de ses points, par ses pentes 
correspondant aux diverses abscisses (p. 34). 
Il suffira donc, pour pouvoir attribuer au méridien la forme et les 
dimensions d’une certaine courbe, comme, par exemple, d’une ellipse 
peu aplatie ou peu excentrique ayant son grand axe suivant l’équa 
teur, qu’il existe un accord suffisant entre la fonction o(X) et l’ex 
pression du rayon de courbure R dans une certaine ellipse en fonction 
de l’angle X fait par ce rayon avec l’axe focal. Et voilà pourquoi il y a 
lieu de chercher une telle expression. 
A cet effet, introduisons comme variable dans le dernier membre 
de (i4) [p. 210], au lieu de l’ordonnée/, la pente du rayon R, tangX, 
inverse en valeur absolue de celle, y', de l’élément même ds; ce qui 
sera possible au moyen de la première formule (12) [p. 209] immé 
diatement résoluble par rapport à y 2 . Si nous remplaçons ensuite 
tang 2 X ¡таг son expression en fonction de sin 2 X, il viendra, vu d’ail 
leurs que. dans le quotient p de b 2 par a, b 2 a la valeur a 2 (i — e 2 ), 
_3 _3 
(i5) R =p(i — e 2 sin 2 X) 2 = a(i — e 2 )(i — e 2 sin 2 X j 2 . 
Dans le cas d’une faible excentricité e, on peut développer par la 
formule du binôme (p. i56) le dernier facteur, en négligeant les 
termes en e* et au-dessus, puis effectuer la même simplification sur son 
produit par le facteur précédent 1 — e 2 , et observer enfin, au moyen 
x 
d’un développement analogue de b — a( \ — e 2 ) 2 , que ae 2 est, au même 
degré d’approximation, le double de la différence a — b. On trouve 
ainsi