APPLICATION AU MERIDIEN TERRESTRE. Tn -,* 
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expression de R dont la confrontation avec la fonction empirique 
œ (X) permet de conclure à une forme sensiblement elliptique des mé 
ridiens terrestres et fait connaître, d’abord, la différence a — b des deux 
demi-axes par la comparaison des termes proportionnels à sin 2 X, puis 
les demi-axes a et b eux-mêmes par l’identification, de part et d’autre, 
du terme constant. 
Je conclurai par trois remarques : 
i° En posant, dans (16), X = o et X m un droit, on voit que les 
deux rayons de courbure extrêmes minimum et maximum sont sen 
siblement «— 2[a — b), a -f- [a—b) et ont pour moyenne arithmé 
tique celle, \{a -h b), des deux demi-axes; 
2° Si nous faisons varier X de zéro à i droit par accroissements 
infiniment petits égaux dl, la moyenne arithmétique de toutes les 
valeurs correspondantes de R s’obtiendra évidemment par la substi 
tution dans (16), au facteur sin 2 X, de sa propre valeur moyenne, égale 
à celle du carré cos 2 X qui aurait pris dans l’ordre inverse les mômes 
valeurs, et moitié, par conséquent, de la somme constante i de ces 
deux carrés, comme on a vu (p. 53*); d’où il suit que cette valeur 
raovenne de R, se produisant pour sin 2 X nz - ou pour X = -, est re- 
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présentée par le rayon de courbure également incliné sur les deux 
extrêmes dont je viens de parler, et qu’elle égale encore leur moyenne 
arithmétique v(ab); 
3° Enfin, quelle cpie soit la forme de la courbe, telle cependant, que 
la tangente y tourne sans cesse dans un même sens, sa longueur com 
prise entre les deux points où X = o et où 1 =: ~ peut s’obtenir en fai 
sant, d’une de ces limites à l’autre, croître X d’une différentielle tou 
jours égale dl- ce qui donne, d’après (7) [p. 200], des éléments 
de longueur correspondants, ds = R c/X, ayant pour somme, (2R) dl, 
le produit de la moyenne des rayons R par leur nombre très grand n et 
par dl, ou encore le produit de ce rayon de courbure moyen, entre les 
limites considérées, par l'angle total n dl — ~ qu elles comprennent. 
ha longueur d’un quart d’ellipse égale donc, en toute rigueur, celle 
d’un quart de cercle décrit avec son rayon de courbure moyen, qui, si 
l ellipse se trouve peu aplatie, est approximativement, tant en gran 
deur qu’en direction, la moyenne des deux rayons de courbure maxi 
mum et minimum, et aussi celle des deux demi-axes a, b. 
tî. — I. Partie complémentaire. 
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