ENTRE LIGNES VOISINES D’UNE MÊME FAMILLE. 
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ENTRE LIGNES VOISINES D’UNE MÊME FAMILLE. I ^ r) * 
étudier celle-ci indépendamment des courbes de la famille, le mieux 
sera de chercher son équation eu x et y, et, par conséquent, d’éli 
miner c entre les deux relations de la forme x — ©(c), y — (p(c) ainsi 
obtenues, ou mieux directement entre les deux équations (28); ce qui 
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pourra se faire par les procédés de l'Algèbre quand la fonction F sera 
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entière par rapport à c. 
Lorsque F {x, y, c) a la forme y—/{x,c), ou que l’équation 
F = 0 de la famille revient à prendre explicitement y =f(x, c), la 
df(x c) 
seconde relation (28) se léduit a < — 0 et, 1 ordonnée y n’y fi- 
n,nid iin njtui’. 
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«l'wtioi. Soit, «fin 
garant pas, elle fait connaître a elle seule x en fonction du paramètre 
c, c’est-à-dire l’abscisse des points d’une courbe donnée de la famille 
qui appartiennent à l’enveloppe, ou, inversement, c en fonction de x, 
c’est-à-dire les courbes de la famille qui ont avec leurs voisines et, 
par conséquent, avec l'enveloppe un point commun d’une abscisse 
donnée x. Il est quelquefois utile de regarder ainsi c comme fonction 
» la tom-tioa F cb lr ■ I 
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de x\ car il en résulte que l'équation F (,r, y, c) — 0, ou y— f{x, c), 
qui est déjà celle de la famille lorsqu’on y pose c = const., de 
vient également celle de l’enveloppe en faisant varier c comme il 
est dit. 
» jft, impbciteialHH 
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Toutefois, la seconde équation (28) étant, non pas précisément 
celle qui exprime l’existence d’un point commun à deux courbes de 
la famille très voisines, mais seulement sa limite pour le cas où Je 
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point commun existe, il n'est pas impossible qu'il y ait, sur chaque 
ligne de la famille, un point vérifiant les équations (28), dans des cas 
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où la ligne en question reste partout séparée de ses voisines et où, 
■n aura, une valeur te». 
par suite, le plan se trouve divisé, par les courbes F(x, y, c) — 0, en 
Pleine des de» fl ■ 
ni la seconde peut tiw 
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bandes minces contiguës d’une largeur qui ne se réduise nulle part à 
zéro. Alors, ce point se déplaçant à travers les bandes quand on passe 
d une courbe à l’autre, la ligne qu’il décrit croise les courbes et ne 
en ter», le piuu«l 
mérite plus, comme on verra bientôt, le nom d’enveloppe : mais elle 
«mile relation tend *1 
reste, à défaut d'intersections successives qui n’ont pas lieu, une ré- 
l’ail »oit 'pie le f* 1 ; | 
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gion du plan où deux courbes de la famille très voisines se rapprochent 
incomparablement plus qu’en leurs autres points. 
Si, en effet, par un point quelconque {x, y) d’une ligne F {x, y, c) —0, 
et normalement à cette ligne, on mène une très courte droite AL mesu- 
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-0: 
rant sa distance à la ligne voisine F(o?, y, c -h Ac)“ 0, le point 
{x\x, y + Aj) où elle aboutit vérifie l’équation 
F( # 4- \x, y -4- \y, c -r- Ac) = 0, 
dont la différence à F{x,y, c) ~ 0 peut s’écrire, d’après une formule