D UNE FAMILLE DE COURBES : EXEMPLE. 
189* 
de c comme constante. Autrement dit, les enveloppes en question, 
intérieures ou extérieures, seules capables d’échapper aux équations 
(28), sont constituées par des courbes extrêmes ou limites de la fa 
mille, celles sur lesquelles on a c — ±00. Je donnerai un peu plus loin 
quelques exemples de ces sortes d’enveloppes : ici je me contenterai 
d’en étudier un assez simple d'une enveloppe intérieure lieu d’inter 
sections successives. 
H est offert par la famille/ = c' 2 {x — c) 2 , composée, comme on voit, 
de paraboles tangentes pour x — c à l’axe des abscisses, et étendant 
au-dessus de cet axe, c’est-à-dire du côté des / positifs, leur branche 
unique, d’autant moins ouverte, ou d’autant plus vite montante à 
droite et à gauche du point de contact x~c, qu’est plus grande la 
distance c de ce point à l'origine. L’axe des x est évidemment alors 
une enveloppe extérieure, puisque toute valeur (réelle) de c donne 
p> 0. Mais il j a, en outre, une enveloppe intérieure. En eifet, y 
étant ainsi supposé positif, une extraction de racine carrée décompose 
l'équation y — c 2 {x— c) 2 en deux du second degré par rapport à c, 
qui sont 
(3i) c{x — c) — \fy — o, c(a , -c)+v// = o, 
et qui ont respectivement pour racines 
(3a) 
Les deux dernières, racines de la seconde équation (3i), sont toujours 
réelles, et il existe, par conséquent, quelle que soit la valeur positive 
donnée de/, deux courbes de la famille se croisant au point (x, /). 
Mais, si l’on a \Jy < —, les deux premières valeurs (82) de c sont éga- 
lement réelles, et quatre courbes se croisent en chaque point. On voit 
donc que la parabole du quatrième degré définie par l’équation \y— — 
4 
ouy— T —, constitue une enveloppe intérieure, divisant l’espace au- 
dessus de l’axe des x en une région inférieure, partout sillonnée sui 
vant quatre sens différents par les courbes, et une région supérieure 
qui ne l’est que suivant deux. Enfin, l'espace au-dessous de l’axe desÆ? 
formant une troisième région, où Je nombre des courbes qui se croi 
sent en chaque point tombe à zéro, la ligne enveloppe se composera 
des deux branches y — o, y = 
x 4 
iG 
il est aisé de vérifier que les équations (28) donnent effectivement