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petitesse que l’écart le plus grand (ou la plus grande distance mutuelle)
existant entre ces deux, courbes. Alors, s'il arrive que, pour des va
leurs finies de x et de/, c devienne infini, ou qu’il existe une ligne
parfaitement déterminée ayant soit l’équation F{x,y, -+- oo) = o, soit
l’équation F{x,y, —oo) = o, la valeur du paramètre, finie tout près
d’un point quelconque {x, y) de celte ligne, éprouvera une infinité
de petits accroissements sensibles A c dans le court trajet qu’il y aura
delà au point même (x, y); et l'on croisera, par conséquent, en ef
fectuant ce trajet d'une longueur indéfiniment réductible, une infinité
de courbes de la famille qui occuperont ailleurs sur le plan un espace
incomparablement plus large (aux endroits où l’écart de deux consé
cutives sera de l’ordre de Ac). Il passera donc, près du point quel
conque {x, y) de la ligne considérée, des courbes de la famille s’y
trouvant rapprochées de leurs voisines dans telle mesure très grande
qu’on aura voulu fixer.
B ailleurs, ces courbes F {x, y, c) — o, chez lesquelles la valeur
absolue de c sera considérable, se tiendront, d’ordinaire, d’autant
plus près de leur limite F {x, y, ^zcc)—o, sans pourtant l’at
teindre, que cette valeur absolue de c aura été prise plus grande : et,
par conséquent, leur limite ne sera pas pour elles un lieu d’intersec
tions successives, ni même un lieu d'infini rapprochement entre voi
sines; mais elle tendra ci être un pareil lieu d’infini rapprochement,
si, entre ces courbes et leur limite, on en considère à l’infini des
couples de nouvelles, à paramètres c, c Ac de plus en plus élevés,
ou ne se séparant l une de l’autre, dans un même couple, pour pré
senter des écarts comparables à Ac, que de plus en plus loin du point
{x, y). Celles-ci ne pourront, en effet, s’écarter mutuellement de
quantités de l’ordre de Ac, comme il est entendu qu’elles le font
quelque part, qu’autant que celle des deux dont le paramètre est c,
ou qui enferme l’autre (à paramètre ch-Ac) entre elle et la limite,
s’éloignera sensiblement plus qu’elle de cette limite, et, par consé
quent, aura déjà, antérieurement, commencé à le faire d’une quantité
de l’ordre de Ac. Ainsi, à partir du voisinage du point {x, y), les
courbes F{x,y, c) — o, suivies du côté où elles divergent, s’éloi-