PROPRIÉTÉ DISTINCTIVE DES COURE. ASYMPT. DANS UNE FAM. ;
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gneront sensiblement les unes après les autres de la ligne limite
F(x,y, ±oo)r=o, dans l’ordre des valeurs absolues croissantes de
leur paramètre caractéristique c. La limite F {x, y, ±œ)=o sera
donc une ligne d’infini rapprochement pour celles qui n’en diverge
ront qu’à une distance infinie; et rien n’empêche que, prolongée sans
fin dans les deux sens ou se fermant sur elle-même, elle en soit de
même une pour toutes les courbes F{x,y, c) — o.
On pourra l’appeler, à l’exclusion de ces courbes sur lesquelles c est
fini, la ligne asymptote de la famille, si l’on entend celte dénomina-
nation dans un sens plus étendu que le sens ordinaire, où Vasympto-
tisme désigne un indéfini rapprochement se complétant à l’infini, mais
ne se réalisant dans une mesure très grande, par les divers degrés
croissants de rapprochement de deux courbes relativement à leur
écart initial ou maximum donné, qu’à partir de points plus ou moins
éloignés de l’origine. Ici, au contraire, il s’agit d’un asymptotisme
qui se manifeste, en chaque point {x, y), par tel degré très élevé
de rapprochement relatif qu’on le veut, déjà opéré à cet endroit,
entre l’asymptote et diverses courbes convenablement choisies de la
famille.
Effectivement, nulle courbe de la famille ne peut en être une
asymptote ainsi entendue, que si le paramètre c y acquiert une va
leur infinie. Car admettons que l’une des lignes F{x, y, c) = o soit
une telle asymptote. Nous devrons concevoir que, dans le voisinage
d’un quelconque {x, y) de ses points, il passe d’autres courbes de la
famille, présentant avec elle et, par suite, chacune relativement à une
autre contiguë, une infinité de degrés très élevés de rapprochement
(eu égard à leur écart en d’autres endroits, de l’ordre de la varia
tion A c du paramètre pour deux consécutives). Donc, en suivant, à
partir de (x, y), cette ligne asymptote, jusqu’aux points où s’en éloi
gneront à des distances sensibles les courbes delà famille dont le rap
prochement relatif mutuel en (x, y) atteignait ces degrés très élevés,
on en trouvera d’autres, comprises entre elle et les précédentes, pré
sentant à leur tour ces mômes degrés très élevés de rapprochement
relatif, ou qui, par suite, près de {cc, y), étaient incomparablement
plus rapprochées que les précédentes de l’asymptote; et ainsi de suite
à l’infini. Or chacune de ces séries de courbes qui, aux endroits où
elles sont étalées, couvrent des étendues de largeur sensible, corres
pond à une variation totale également sensible du paramètre c; et
une infinité de pareilles séries implique une variation infinie du para
mètre, à moins que celui-ci ne passe une infinité de fois par les mêmes
valeurs sur des courbes différentes et, définissant ainsi très imparfai-