COORD. POLAIRES COMPARÉES AUX COORD. RECTILIGNES. 
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appelle une spirale; sa partie décrite pendant un tour complet de OP 
en est une spire. 
L’angle 6, que l’on choisit ordinairement pour variable indépen 
dante, se nomme, comme on sait, angle polaire ou azimut, et, la 
distance r, rayon vecteur. Ces deux variables r et 0, les plus natu 
relles qu’on puisse employer dans l’étude des mouvements qui se font 
sur un plan autour d’un point ou d’un axe, constituent ce qu’on ap 
pelle des coordonnées polaires. Enfin, la droite fixe 0.2?, à partir de 
laquelle se comptent les azimuts, est désignée sous le nom d'axe po 
laire. 
Si on lui mène par le pôle une perpendiculaire Oy, dans la direc 
tion définie par 1’azimut 0 — -> les deux distances positives ou néga 
tives x et y du point M à ces axes O y el Ox constitueront un système 
de coordonnées rectilignes qui a des rapports très simples avec les 
coordonnées polaires r et 0. En effet, dans le triangle rectangle OQM, 
x et y, ou OQ et QM, seraient évidemment cosO et sinO, pour toutes 
les directions de OM, si OM ou /’valait l’unité; et l’on a par suite 
# — rcosO, y — /’sinô, relations d’où l’on déduit, à l’inverse, en 
prenant soit les rapports respectifs de leurs membres, soit la somme 
y 
de leurs carrés, tangO — — , r- — x- 4- r 2 . 
° x 
L’équation /’=/(0), en coordonnées polaires, d’une courbe, de 
vient donc en coordonnées rectangulaires sjx^-h y 1 — y^arctang 
et elle prend une forme transcendante quand la proposée était algé 
brique. Inversement, si la courbe, en coordonnées rectangulaires, a 
son équation de la forme F(.r, y) —o, son équation en coordonnées 
polaires sera F(/ - cosO, /’sinO)=:o. Celle-ci, quand la proposée était 
algébrique, ne contient pas directement l’angle polaire 0, mais seule 
ment ses lignes trigonométriques cosO, sinO, de manière à donner pour 
/’, x et y les mêmes valeurs quand 0 croît de 2ir. On peut donc n’y 
faire varier 0 que dans un intervalle 2tt, et même seulement dans un 
intervalle égal à tt si l’on introduit des rayons r négatifs, à porter à 
l’opposé de ceux qui, pour môme valeur de 0, seraient positifs ; car 
on voit qu’un point déterminé par certaines valeurs — /’, 0 des deux 
coordonnées polaires, sera le même que celui où ces coordonnées au 
raient les valeurs r, 0 4- ir. Les expressions rcosO, r sinO de x et de y 
continuent d’ailleurs à s’appliquer avec ces valeurs négatives de r; 
car les facteurs r et cosO, r et sinô, y changeant simplement de signe, 
donneront les mêmes produits.