COMPLÉMENT À LA TROISIÈME LEÇON. 
ANALOGIES DES FONCTIONS EXPONENTIELLES ET CIRCULAIRES ; FONC 
TIONS HYPERBOLIQUES ; EXPONENTIELLES IMAGINAIRES; ETC. 
18 * — Discontinuités spéciales à la fonction logarithmique 
ou à d’autres fonctions transcendantes. 
Parmi les fonctions transcendantes considérées jusqu’à présent, il en 
est trois, log.s, arc sin^ et arc cos^, qui se distinguent des autres en ce 
qu’elles n’ont plus de valeurs (réelles) lorsque la variable z y sort d’un 
certain intervalle. Cet intervalle s’étend, pour la fonction logarithmique, 
de z —o à î =00, et, pour les fonctions arcsinus et arccosinus, 
de z =-— i à s-:+i. Mais la fonction logarithmique est la seule des 
trois qui n’admette qu’une valeur pour chaque valeur de la variable 
et, par conséquent, la seule de toutes les fonctions transcendantes 
usuelles qui, dans le voisinage d’une limite au delà de laquelle elle 
cesse d’exister, ne présente ainsi qu’une suite de valeurs. Or ce carac 
tère la distingue également des fonctions algébriques contenant des 
radicaux d’indice pair (í¿=±^/s ou u — —, par exemple, racines 
± Z 
des équations u 2 —z— o, zu 2 —i = o), ou des fonctions algébriques 
implicites analogues à celles-là, qui, comme log^, n’existent plus au 
delà d’une certaine limite; car, en deçà, ces fonctions ont, en re 
vanche, plus d’une valeur. 
Il faut observer en outre que log.s grandit indéfiniment (en valeur 
absolue) à l’approche de la limite ~ = o, sans que ce soit à l’occasion 
d’une fraction dont le dénominateur s’annulerait, mais uniquement 
par suite de ce fait, que la variable z, incapable de devenir négative, 
ne s’annule pas sans que la fonction, simple exposant susceptible de 
prendre toutes les valeurs, ait reçu celles, qui sont négatives et très 
grandes, qu’elle n’avait pas eues encore. Ainsi le genre de discon 
tinuité que présente, pour z — o, la fonction log^, diffère essen 
tiellement de celui des discontinuités que comportent les fonctions 
algébriques, comme il sera, du reste, démontré complètement plus