RAYON DE COURBURE ET DEVELOPPEE 
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même espace angulaire, mais d ailleurs quelconques, étaient sem 
blables et devenaient même semblablement placées par l'effet d’une 
simple rotation autour du pôle; car on sait que les angles homologues 
sont égaux dans les figures semblables. 
Réciproquement, la propriété de couper les rayons vecteurs sous 
un angle constant n’appartient à aucune autre courbe que la spirale lo 
garithmique. En effet, si, tout le long d’une courbe, cot Y— une const.o, 
11 . .... r , . r/Iogc d.a 0 . 
ou que, d apres (5), — = a, c est-a-care —> les deux fonc 
tions logr, aO, ayant constamment même dérivée, ne peuvent différer 
que par une constante, 6; et il vient bien logr =z «0 h- h. 
La valeur ¡particulière la plus remarquable qu’on puisse donner à 
a est zéro. Alors cotY=:a s’annule et V == un droit; ce qui est la 
propriété caractéristique des cercles décrits autour du pôle comme 
centre, car la relation cotV=o revient, d’après (5), à poser r' = o 
ou r = const. Ainsi, quand a est infiniment petit, la spirale logarith 
mique coupe à angle droit tous ses rayons vecteurs, et ses spires de 
viennent des cercles. Il est clair, en effet, que, la distance r — e a ® au 
pôle croissant alors avec une lenteur infinie, la spirale se compose de 
spires, serrées les unes contre les autres, qui recouvrent tout le plan 
et équivalent à la famille des cercles concentriques décrits autour 
du pôle. 
154*. — Rayon de courbure et développée de la spirale logarithmique. 
L’équation r = e a9 différentiée deux fois donne r' = ae a ®, r" — cée a ^ 
et, par suite, r' 2 = rr". Alors le dénominateur de l’expression (8) du 
rayon R de courbure se réduit à r 2 -1-r' 2 et il vient, en tenant compte de 
la seconde (6), R = \J r 2 -±~ r 12 — N tant pour la grandeur que pour le 
signe. C’est ce qu’on aurait vu encore plus directement, en observant 
que la constance de Y réduit l’angle de contingence ¿/(6 + Y) à ¿/9 et, 
par suite, le rayon R de courbure au rapport , qui vaut bien N d’a 
près le dernier membre de (7). Donc, dans la spirale logarith 
mique, le rayon du cercle oscillateur est égal à la normale, et le 
centre de courbure coïncide acec Vextrémité de la sous-normale. 
Cherchons, d’après cela, l’équation de la développée, c’est-à-dire 
du lieu des centres de courbure C. Leur angle polaire ¿rOC, que 
nous appellerons 0', est égal, comme on voit, à ¿cOM + MOC ou 
à 6 + ^; et l’on a 0 =; 0'—-• D’autre part, leur rayon vecteur OC,