DE LA SPIRALE LOGARITHMIQUE. 
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n’étant autre que la sous-normale, a pour expression, vu la première 
formule (6), la dérivée /•' =r ae a% = e a9+l0 s« du rayon vecteur OM. 
Continuons à le désigner par r et, en y exprimant 0 en fonction de 0', 
Fig. 27. 
comme il vient d’être fait, on aura, entre les deux coordonnées / ' et 0' 
des centres C de courbure, l'équation de la développée 
, «(fr-p)- 
/• — e \ */ 
6’-. 
O"- rr \ 
a * 
On reconnaît dans cette courbe une spirale logarithmique décrite 
autour du même pôle que la proposée et qui, si l’on y compte les 
angles polaires à partir du rayon vecteur pour lequel on a 0 = -' 
devient ce qu’est la proposée r — e aQ par rapport à l’axe 0.x. Donc 
la spirale logarithmique a pour développée une courbe égale, 
obtenue en la faisant simplement tourner, autour du pôle, de 
l’angle - — — ? dans le sens suivant lequel grandissent ses 
2 a 
rayons vecteurs et se comptent les angles polaires positif s. Si la con 
stante a était telle, que cette rotation se réduisît à un nombre exact n 
de tours, le rayon vecteur OC, égal à ecoïnciderait avec 
celui de la spirale proposée dont l’angle polaire est 6'— 2«tu; et la 
courbe serait à elle-même sa propre développée. 
Il est curieux que les deux lignes les plus remarquables étudiées 
dans cette quinzième Leçon, savoir la cycloïde et la spirale logarith 
mique, possèdent en commun la propriété d’avoir pour développées 
des courbes qui leur sont égales. 
On reconnaîtrait aisément que non seulement l’extrémité C de la 
sous-normale, mais aussi l’extrémité T de la sous-tangente, décrit une 
spirale pareille à la proposée; et nous avons vu plus haut que l’on re 
tombe encore sur cette même courbe quand on veut en construire 
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